Hahn 分解定理

取 $\nu$ 的一个 Hahn 分解 $X = P \sqcup N$（$P$ 正、$N$ 负）。定义

① 它们都是测度。 对 $\nu ^{+}$：$\nu^+(\emptyset) = \nu(\emptyset) = 0$；对不交的 $\{E_j\}$，

（右边的每一项都 $\ge 0$，因为 $E_j \cap P$ 是正集的子集。）$\nu ^{-}$ 同理。

② $\nu = \nu ^{+} - \nu ^{-}$。 对任意 $E$，

③ $\nu ^{+} \perp \nu ^{-}$。 取 $E = P$、$F = N$：$P$ 是 $\nu ^{-}$零集（$\nu ^{-}(P) = -\nu (P \cap N) = 0$），$N$ 是 $\nu ^{+}$零集。

④ 至少一个有限。 由符号测度的定义，$\nu$ 至多取到 $\pm \infty$ 中的一个：若 $\nu$ 不取 $\infty$ 则 $\nu ^{+}$ 有限，若 $\nu$ 不取 $-\infty$ 则 $\nu ^{-}$ 有限。

⑤ 唯一性。 设 $\nu = \mu_1 - \mu_2$ 也是这种分解（$\mu_1 \perp \mu_2$）。取见证奇异性的划分 $X = E \sqcup F$（$E$ 是 $\mu _{1}$零集、$F$ 是 $\mu _{2}$零集）。由 Hahn 分解的唯一性只能差一个零集，逐块比较即可得到 $\mu_1 = \nu^+$、$\mu_2 = \nu^-$。∎

① 先把 $\nu$ 的无穷值甩掉。 不妨设 $\nu$ 不取 $\infty$（若 $\nu$ 不取 $-\infty$ 就改证 $-\nu$）。于是 $\nu(X) < \infty$ 中的「上方」是安全的。

② 挑一个「最大的正集」。 令

则 $m < \infty$（因为 $\nu$ 不取 $\infty$ 而 $\nu (E) \le \nu (X)$ 型估计受控）。取一列正集 $\{P_j\}$ 使 $\nu(P_j) \to m$，令

由正集的可数并仍是正集，$P$ 是正集；且 $\nu(P) = m$（正集的不交化 + 可数可加）。

③ 断言 $N = X \setminus P$ 是负集。 反设 $N$ 不含负集，即 $N$ 不是负的。要证它会挤出一个比 $m$ 更大的正集。

④ 在 $N$ 里挖出正集。 若 $N$ 不是负集，则存在可测 $A \subseteq N$ 使 $\nu(A) > 0$。「$A$ 是正的」就到此结束；否则存在 $A_1 \subseteq A$ 使 $\nu(A_1) < 0$。取最小的自然数 $n$ 使

（$n_1$ 取「使存在负测度集 $\le -1/n_{1}$ 的最小 $n$」。取最小这一步是关键 —— 它保证后面能取极限。）

再在 $A \setminus A_1$ 里重复同样的操作，得到 $A_2, \ldots$

⑤ 若操作终止，剩下的 $B = A \setminus \bigcup_k A_k$ 就是正集（因为已经没有负子集可以挖了）。 ⑥ 若操作不终止，取 $B = A \setminus \bigcup_k A_k$。由可数可加性

而 $\sum_k |\nu(A_k)| < \infty$（因为左边有限），特别地 $\nu(A_k) \to 0$，这迫使 $n_k \to \infty$，从而对任意 $F \subseteq B$：若 $\nu(F) < -1/n_{k-1}$，就与 $n_k$ 的最小性矛盾。于是 $\nu(F) \ge -1/n_{k-1}$ 对一切 $k$ 成立，令 $k \to \infty$ 得 $\nu(F) \ge 0$。故 $B$ 也是正集。

⑦ 矛盾。 由 ⑤⑥，$A$ 中含正集 $B$。于

说明 $P \cup B$ 是正集且 $\nu(P \cup B) = m + \nu(B) > m$，与 $m$ 的定义矛盾。故 $N$ 必为负集，$X = P \sqcup N$ 就是 Hahn 分解，存在性得证。

⑧ 唯一性。 设 $P' \sqcup N'$ 是另一对。则 $P \setminus P' \subseteq P$（正集）且 $\subseteq N'$（负集），所以它既是正集又是负集 —— 只能是零集；同理 $P' \setminus P$ 也是零集。故 $P \triangle P' = N \triangle N'$ 是 $\nu$零集。∎