数列极限

数列极限 xn→xx_n \to x（Limit of a Sequence）

def.sequence-limit · 定义 · 极限

又称数列极限·极限·limit·收敛·convergence

陈述

数列 {xn}⊆R\{x_n\} \subseteq \mathbb{R} 收敛到 xx（记 xn→xx_n \to x 或 lim⁡n→∞xn=x\lim_{n \to \infty} x_n = x），当且仅当

∀ε>0,∃N,∀n≥N:∣xn−x∣<ε\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall n \ge N : |x_n - x| < \varepsilon

即：不管给出多小的 ε\varepsilon，从某一项之后，所有项都落在 xx 的 ε\varepsilon 邻域里。

不收敛的数列叫发散。

说明

⭐ 这就是「ε\varepsilon-NN 语言」：把「越来越近」翻译成可以逐条检验的条件。整个分析学的证明都建立在这个格式上。

基本性质（都由定义直接验证）：

⚠ 「有界」不保证收敛（(−1)n(-1)^n）；「ε\varepsilon 固定、NN 往后」的顺序不能换。

它指向谁（出边）

定义引用 3

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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