ℝ 是完备有序域

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ 阿基米德性质推出
  完备性 $\implies$ 阿基米德性质 + $\mathbb{Q}$ 稠密

  设 $K$ 是完备有序域（把 $\mathbb{N}$、$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Q}$ 按 $1$ 生成的子域嵌进去看）。

  (i) 自然数无上界。 反设 $\mathbb{N}$ 在 $K$ 中有上界。由完备性，$s := \sup \mathbb{N}$ 存在。$s - 1 < s$，故 $s - 1$ 不是上界，于是存在 $n \in \mathbb{N}$ 使 $n > s - 1$。但那样 $n + 1 > s$，而 $n + 1 \in \mathbb{N}$ —— 与 $s$ 是上界矛盾。故

  $$\forall x \in K, \exists n \in \mathbb{N}: n > x$$

  （顺带一句：若 $x > 0$，把 $n$ 换成 $n + 1$ 还能保证 $n \ge 1$、$1/n < x$。）

  (ii) $\mathbb{Q}$ 稠密。 设 $x < y$，则 $y - x > 0$。由 (i)（取 $x$ 换成 $1/(y-x)$ 的用法）可取 $n \in \mathbb{N}$，$n \ge 1$，使

  $$n (y - x) > 1, \qquad \text{即}\quad \frac{1}{n} < y - x$$

  再对实数 $nx$ 用一次 (i) 的整数版本：存在 $m \in \mathbb{Z}$ 使

  $$m \le nx < m + 1$$

  （「整数版本」：先用 (i) 取 $k > nx$，再从 $\{0, 1, \ldots, k\}$ 中取最小的使 $\ge nx$ 的那个。）令 $q := (m+1)/n \in \mathbb{Q}$。则

  • $q > x$：由 $nx < m + 1$ 两边除以 $n > 0$；
  • $q < y$：由 $q = \frac{m+1}{n} \le \frac{nx + 1}{n} = x + \frac{1}{n} < x + (y - x) = y$。

  故 $x < q < y$，$\mathbb{Q}$ 在 $K$ 中稠密。$\blacksquare$

  ⭐ 注意 (i) 的证明只用了「$\mathbb{N}$ 的每个元都有后继」与「上确界存在」这两件事 —— 这就是为什么完备性蕴含阿基米德性。

• 本页 ⟹ ℝ 不可数推出
  完备性（确界原理）$\implies \mathbb{R}$ 不可数（闭区间套 + 对角线）

  反设 $\mathbb{R} = \{x_1, x_2, x_3, \ldots\}$ 可以排成一个序列。下面造一个不属于这个序列的实数。

  ① 二分法造出一串闭区间。 取 $I_0 := [0, 1]$。已知 $I_{n-1} = [a_{n-1}, b_{n-1}]$ 后，令 $m_n := (a_{n-1} + b_{n-1})/2$，取

  $$I_n := \begin{cases} [a_{n-1}, m_n], & x_n > m_n \\ [m_n, b_{n-1}], & x_n \le m_n \end{cases}$$

  于是 $x_n \notin I_n$，且 $I_0 \supseteq I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots$，长度 $b_n - a_n = 2^{-n} \to 0$。

  ② 完备性给出公共点。 令 $A := \{a_n\}$。$A$ 非空（$a_0 = 0$）且有上界（$1$ 就是上界），故由确界原理 $a := \sup A$ 存在。

  $a \in I_n$ 对每个 $n$ 成立：一方面 $a \ge a_n$（上界）；另一方面对 $k \ge n$ 有 $a_k \le b_k \le b_n$，故 $b_n$ 是 $A$ 的上界，于是 $a \le b_n$。

  ③ 矛盾。 由 ① 知 $x_n \notin I_n$，由 ② 知 $a \in I_n$，所以 $a \ne x_n$ 对一切 $n$ 成立 —— 但 $a \in \mathbb{R} = \{x_1, x_2, \ldots\}$，与序列穷尽了 $\mathbb{R}$ 矛盾。故 $\mathbb{R}$ 不可数。$\blacksquare$

  ④ 基数版本。 把实数写成二进制小数（约定不用最后全 1 的写法以避开歧义）得到 $\mathbb{R} \hookrightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N})$；反过来 $\mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{R}$ 用三进制展开即可，两边都有单射，由 Schröder–Bernstein 得 $|\mathbb{R}| = |\mathcal{P}(\mathbb{N})| = 2^{\aleph_0}$。再由 Cantor 定理 $|\mathcal{P}(\mathbb{N})| > |\mathbb{N}| = \aleph_0$，即

  $$|\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0} > \aleph_0$$

谁指向它（入边）

推出 1

• 实数系 ℝ ⟹ 本页推出
  Cauchy 列的等价类 $\implies$ 完备有序域

  记 $\mathcal{C}$ 为有理 Cauchy 列的全体。下面把 $\mathbb{R} := \mathcal{C}/\sim$ 逐条查一遍。

  ① 运算良定义。 设 $x \sim x'$、$y \sim y'$（即 $x_n - x'_n$、$y_n - y'_n$ 都是零列）。

  加法：$|(x_n + y_n) - (x'_n + y'_n)| \le |x_n - x'_n| + |y_n - y'_n| \to 0$（三角不等式）。

  乘法：$x_n y_n - x'_n y'_n = x_n (y_n - y'_n) + y'_n (x_n - x'_n)$，而 Cauchy 列有界（设 $|x_n| \le M$、$|y'_n| \le M'$），故两项各自 $\to 0$。

  ② 域公理。 结合、交换、分配都是逐项验证后取等价类（$\mathbb{Q}$ 满足，$\mathcal{C}$ 对 $+$、$\cdot$ 封闭）。零元 $0 := [$零列$]$、一 $1 := [(1,1,1,\ldots)]$。

  乘法逆元是唯一需要想法的地方：设 $x$ 不是零列。因 $x$ 是 Cauchy 列，「不是零列」意味着

  $$\exists \varepsilon > 0: \forall N, \exists n \ge N,\ |x_n| \ge \varepsilon$$

  取这样的 $\varepsilon$，并用 Cauchy 性取 $N_0$ 使 $m, n \ge N_0$ 时 $|x_m - x_n| < \varepsilon/2$；再取 $n_0 \ge N_0$ 使 $|x_{n_0}| \ge \varepsilon$。则对一切 $n \ge N_0$：

  $$|x_n| \ge |x_{n_0}| - |x_n - x_{n_0}| > \varepsilon - \varepsilon/2 = \varepsilon/2$$

  于是定义 $y_n := 0$（$n < N_0$）、$y_n := 1/x_n$（$n \ge N_0$）。$y$ 是 Cauchy 列，因为

  $$|y_m - y_n| = \frac{|x_m - x_n|}{|x_m|\,|x_n|} \le \frac{4}{\varepsilon^2}\,|x_m - x_n|$$

  而 $[x_n y_n] = [(1,1,1,\ldots)] = 1$。故每个非零元可逆。

  ③ 序良定义 + 全序。 $(y_n - x_n)$ 换成等价的代表元后仍是零列的平移，故「$> 0$」的定义与代表元无关。三种情形恰有一种成立：

  • $x$ 是零列 $\implies [x] = 0$；
  • 否！则由 ② 的估计，从某项起 $|x_n| \ge \delta$；再用 Cauchy 性（取 $\varepsilon = \delta$）知符号最终恒定：若某两项异号则 $|x_m - x_n| \ge 2\delta$，矛盾。于是要么最终 $x_n \ge \delta$（正），要么最终 $x_n \le -\delta$（负）。

  序与运算的相容性（$\alpha \le \beta \implies \alpha + \gamma \le \beta + \gamma$；$\alpha \ge 0, \beta \ge 0 \implies \alpha\beta \ge 0$）都逐项验证。

  ④ 嵌入与稠密。 $x \mapsto [(x,x,x,\ldots)]$ 是保序、保运算的单射。稠密：若 $\alpha < \beta$，取代表元 $x \in \alpha$、$y \in \beta$ 与正有理数 $q$ 使最终 $x_n + q \le y_n$，则由 $\mathbb{Q}$ 的稠密性可取有理数 $r$ 夹在中间，常数列 $r$ 满足 $\alpha < [r] < \beta$。

  ⑤ $\mathbb{R}$ 完备（Cauchy 完备）。 设 $(\alpha_k)$ 是 $\mathbb{R}$ 中的 Cauchy 列，$x^{(k)} \in \alpha_k$ 是代表元。对每个 $k$，由 $(x^{(k)}_n)_n$ 的 Cauchy 性取 $N_k$，令

  $$y_k := x^{(k)}_{N_k}$$

  （对角抽取。）断言 $(y_k)$ 是有理 Cauchy 列：给定 $\varepsilon > 0$，由 $(\alpha_k)$ 的 Cauchy 性取 $K$，使 $k, j \ge K$ 时 $|\alpha_k - \alpha_j| < \varepsilon/3$，即

  $$\exists N, \forall n \ge N : |x^{(k)}_n - x^{(j)}_n| < \varepsilon/3$$

  再取 $K' \ge K$ 使 $k \ge K'$ 时 $1/k < \varepsilon/3$，并对 $k, j \ge K'$ 取 $n \ge \max(N_k, N_j, N)$：

  $$|y_k - y_j| \le |y_k - x^{(k)}_n| + |x^{(k)}_n - x^{(j)}_n| + |x^{(j)}_n - y_j| < \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$$

  于是 $\alpha := [y_k] \in \mathbb{R}$。同一组估计给出 $|\alpha_k - \alpha| \le 2\varepsilon/3$（取 $j$ 充分大），故 $\alpha_k \to \alpha$。每个 Cauchy 列在 $\mathbb{R}$ 中收敛。

  ⑥ 由 Cauchy 完备推出确界原理。 设 $S \subseteq \mathbb{R}$ 非空、有上界 $\beta_0$，取 $\alpha_0 \in S$。归纳地造两个数列：已知 $\alpha_{n-1} \in S$ 与上界 $\beta_{n-1}$，取中点 $m_n := (\alpha_{n-1} + \beta_{n-1})/2$：

  • 若 $m_n$ 是 $S$ 的上界，则置 $\beta_n := m_n$、$\alpha_n := \alpha_{n-1}$；
  • 否则有 $s \in S$ 使 $s > m_n$，置 $\alpha_n := s$、$\beta_n := \beta_{n-1}$。

  于是 $(\alpha_n)$ 递增、$(\beta_n)$ 递减，且

  $$\beta_n - \alpha_n = \frac{\beta_0 - \alpha_0}{2^n} \xrightarrow{\ n \to \infty\ } 0$$

  两个列都是 Cauchy 列（单调 + 步长趋于 $0$），由 ⑤ 收敛到同一个 $\alpha \in \mathbb{R}$。

  $\alpha$ 是上界：若不然，存在 $s \in S$ 使 $s > \alpha$。取 $n$ 充分大使 $\beta_n - \alpha_n < s - \alpha$；由 $\alpha_n \to \alpha$ 又有 $\alpha \le \beta_n$ 与 $\alpha_n \le \alpha$，于是 $\alpha_n + (s - \alpha) > \beta_n$，而 $\alpha_n \in S$ 且 $s \in S$ 都是 $\beta_n$ 下面的元素 —— 与「$\beta_n$ 是上界」矛盾。

  $\alpha$ 是最小上界：任何上界 $\gamma$ 都满足 $\gamma \ge \alpha_n$（$\alpha_n \in S$），取极限得 $\gamma \ge \alpha$。

  故 $\alpha = \sup S$ 存在，确界原理成立。$\blacksquare$

  ⭐ 注意 ⑤ 与 ⑥ 的位置：先有「Cauchy 列收敛」，才有确界原理。戴德金分割那条路的顺序正好相反（那里完备性是「并」的直接后果），两条路殊途同归。

定义引用 2

• 有序域 → 本页定义引用

  要证的就是「构造出来的 $\mathbb{R}$ 是一个完备有序域」：前两组公理是「有序域」，第三组是不属于这条定义的额外一条。

• 界与确界 → 本页定义引用

  (iii) 完备性（确界原理）说的正是「每个非空有上界的子集都有上确界」—— 结论是用 $\sup$ 写出来的。

类比 1

• 佐恩引理类比
  佐恩引理与确界原理：都是「一次把无穷过程走完」

  两个命题的精神酷似，而且都不是构造性的：

  • 确界原理（$\mathbb{R}$ 的完备性）：非空有上界的集合，$\sup S$ 直接存在 —— 不需要你去逼近。
  • 佐恩引理：每个链有上界的偏序集，极大元直接存在 —— 不需要你去一步步往上爬。

  共同的招：把「无限步的过程」压缩成「一个对象的存在性」，然后直接取用它。 有了它，分析里可以取上确界、代数里可以取极大理想、集合论里可以取极大链。

  ⚠ 差异也要记住：确界原理是 $\mathbb{R}$ 的完备性，由 $\mathbb{R}$ 的构造证出来， 佐恩引理等价于选择公理 —— 前者在一个具体的全序集里工作，后者在任意的偏序集里工作，代价是多了一个公理。

  💡 这也解释了为什么「实数完备」与「选择公理」在证明里长得像：它们是同一类存在性工具。