# ℝ 是完备有序域　`thm.real-ordered-field`
$\mathbb{R}$ 是完备有序域（确界原理）
layer 13 · 定理 · 实数与极限 · 集合论+分析学
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上面构造出来的 $(\mathbb{R}, +, \cdot, \le)$ 满足三组性质：

**(i) 域公理**：$(\mathbb{R}, +, \cdot)$ 是域 —— 加减乘除（除以非零元）都封闭，且有结合、交换、分配律；

**(ii) 序公理**：$\le$ 是全序，且与运算相容：
$$a \le b \implies a + c \le b + c, \qquad a \le b,\ 0 \le c \implies ac \le bc$$
> 陈述续见 [nodes/thm.real-ordered-field.2.md](./thm.real-ordered-field.2.md)


## 它能推出什么 / 谁在用它
- ⇒ [`lem.archimedean`](../nodes/lem.archimedean.md) 阿基米德性质

- …另有出边，续页见 [nodes/thm.real-ordered-field.4.md](./thm.real-ordered-field.4.md)

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/thm.real-ordered-field.3.md](./thm.real-ordered-field.3.md)

refs: Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 1；Ch. 3

> 说明见 `notes/thm.real-ordered-field.md`

引用：`thm.real-ordered-field`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)