界与确界least upper bound

陈述

设 $(P, \preceq )$ 是偏序集，$S \subseteq P$，$u, l, m \in P$。

• $u$ 是 $S$ 的上界：$\forall s \in S, s \preceq u$。
• $l$ 是 $S$ 的下界：$\forall s \in S, l \preceq s$。
• $u$ 是 $S$ 的上确界（记 $\sup S$）：$u$ 是上界，且 $u \preceq$ 每一个上界 —— 即最小的上界。
• $l$ 是 $S$ 的下确界（记 $\inf S$）：$l$ 是下界，且每一个下界 $\preceq l$ —— 即最大的下界。
• $m$ 是 $P$ 的极大元：$\forall x \in P ( m \preceq x \to x = m )$，即没有比 $m$ 更大的元素。
• $m$ 是 $P$ 的最大元：$\forall x \in P, x \preceq m$，即 $m$ 比所有元素都大。

把 $\preceq$ 换成 $\succeq$，前四条里的「上 / 大 / 极大」就变成「下 / 小 / 极小」。

⚠ 极大元 $\ne$ 最大元；$\sup S$ 不必属于 $S$（$\sup (0, 1) = 1$）—— 这是两组容易混的东西。

偏序集里一般不保证 $\sup$ 存在；$\mathbb{R}$ 的特别之处正是保证它存在，那就是确界原理（见「$\mathbb{R}$ 是完备有序域」）。