偏序集

陈述

设 $\preceq$ 是集合 $A$ 上的二元关系。$\preceq$ 是 $A$ 上的偏序，当且仅当：

• 自反：$\forall x \in A, x \preceq x$；
• 反对称：$\forall x, y \in A ( x \preceq y \wedge y \preceq x \to x = y )$；
• 传递：$\forall x, y, z \in A ( x \preceq y \wedge y \preceq z \to x \preceq z )$。

若还满足 可比性 $\forall x, y \in A ( x \preceq y \vee y \preceq x )$，则 $\preceq$ 称为 $A$ 上的全序（线性序），$(A, \preceq )$ 称为全序集。

称 $(A, \preceq )$ 为偏序集。由 $\preceq$ 定义严格序：$x \prec y :\iff x \preceq y \wedge x \ne y$