Hausdorff 极大原理

它指向谁（出边）

等价 1

• 本页 ⟺ Tukey 引理等价
  Hausdorff 极大原理 $\iff$ Tukey 引理
  Tukey 引理 ⇒ Hausdorff 极大原理

  设 $(P, \preceq )$ 是偏序集，$C_{0} \subseteq P$ 是链。令 $\mathcal{C} = \{ C \subseteq P : C$ 是链 }。

  1. $\mathcal{C}$ 具有有限特征：对任意 $X \subseteq P$，

  $X$ 是链 $\iff X$ 中任两元素可比 $\iff X$ 的每个有限子集是链 $\iff X$ 的每个有限子集属于 $\mathcal{C}$。

  （最后一个 $\Longleftarrow$ 方向：任取 $x, y \in X$，则 {x, y} 是 $X$ 的有限子集，属于 $\mathcal{C}$，故 $x$ 与 $y$ 可比。）

  1. $\mathcal{C}$ 非空（$\emptyset$ 是链）。由 Tukey 引理，$\mathcal{C}$ 有极大元 $M$，即 $P$ 的极大链。
  2. 若要包含给定的 $C_{0}$：注意 $\mathcal{C}_{0} = \{ C \in \mathcal{C} : C \supseteq C_{0} \}$ 同样具有有限特征——「$X$ 含 $C_{0}$ 且 $X$ 的每个有限子集是链」正是有限特征的形状（含 $C_{0}$ 是整体性质，不对有限子集设限）。对 $\mathcal{C}_{0}$ 用 Tukey 引理即得包含 $C_{0}$ 的极大链。∎
  Hausdorff 极大原理 ⇒ Tukey 引理

  设 $\mathcal{A}$ 是具有有限特征的非空集合族。把 Hausdorff 极大原理用在偏序集 $(\mathcal{A}, \subseteq )$ 上，得到 $\mathcal{A}$ 的一个极大链 $\mathcal{C}$（即 $\mathcal{A}$ 中一族在 $\subseteq$ 下两两可比较、且不能再扩大成员的子族）。

  令

  $$U = \bigcup \{ A : A \in \mathcal{C} \}$$

  1. $U \in \mathcal{A}$：由有限特征，只需证 $U$ 的每个有限子集属于 $\mathcal{A}$。设 $S \subseteq U$ 有限，则每个 $s \in S$ 落在某个 $A_s \in \mathcal{C}$ 中；$\mathcal{C}$ 是 $\subseteq$链而 $S$ 有限，故其中必有最大的 $A_{0}$ 包含 $S$（即 $S \subseteq A_{0}$）。因为 $A_{0} \in \mathcal{A}$ 且 $\mathcal{A}$ 具有有限特征，$A_{0}$ 的每个有限子集都属于 $\mathcal{A}$，特别地 $S \in \mathcal{A}$。故 $U$ 的每个有限子集属于 $\mathcal{A}$，从而 $U \in \mathcal{A}$。
  2. $U$ 是极大元：若存在 $B \in \mathcal{A}$ 使 $U \subset B$，则 $\mathcal{C} \cup \{B\}$ 仍是 $\subseteq$链（每个 $A \in \mathcal{C}$ 满足 $A \subseteq U \subseteq B$），与 $\mathcal{C}$ 的极大性矛盾。

  故 $U$ 是 $(\mathcal{A}, \subseteq )$ 的极大元。∎

  这一对证明很典型：先看出「链」这个概念本身具有有限特征，就把 Hausdorff 原理换成了用起来更省事的 Tukey 引理。

谁指向它（入边）

等价 1

• 本页 ⟺ 佐恩引理等价
  佐恩引理 $\iff$ Hausdorff 极大原理
  佐恩引理 ⇒ Hausdorff 极大原理（路线 2⟹3）

  设 $(P, \preceq )$ 是偏序集，$C_{0} \subseteq P$ 是链。令

  $$\mathcal{C} = \{ C \subseteq P : C\text{ 是链} \}$$

  按包含关系 $\subseteq$ 排序。给定 $C_{0}$ 时改用 $\mathcal{C}_{0} = \{ C \in \mathcal{C} : C \supseteq C_{0} \}$，它非空（$C_{0} \in \mathcal{C}_{0}$）。

  1. $\mathcal{C}_{0}$ 中每个链有上界：设 $\mathcal{D} \subseteq \mathcal{C}_{0}$ 是（$\subseteq$）链，即 $\mathcal{D}$ 是一族两两可比较的链。令 $U = \bigcup \mathcal{D}$。任取 $x, y \in U$，则有 $D_{1}, D_{2} \in \mathcal{D}$ 使 $x \in D_{1}$、$y \in D_{2}$；因 $\mathcal{D}$ 是链，不妨设 $D_{1} \subseteq D_{2}$，于是 $x, y \in D_{2}$，而 $D_{2}$ 是链，故 $x$ 与 $y$ 可比。所以 $U$ 是链。又每个 $D \in \mathcal{D}$ 都 $\supseteq C_{0}$，故 $U \supseteq C_{0}$，即 $U \in \mathcal{C}_{0}$，它是 $\mathcal{D}$ 的上界。
  2. 由佐恩引理，$\mathcal{C}_{0}$ 有极大元 $M$。$M$ 是包含 $C_{0}$ 的链，且不能再变大，即 $M$ 是包含 $C_{0}$ 的极大链。∎
  Hausdorff 极大原理 ⇒ 佐恩引理（路线 3⟹2）

  设 $(P, \preceq )$ 是非空偏序集，且 $P$ 的每个链都有上界。

  1. 由 Hausdorff 极大原理（取 $C_{0} = \emptyset$），$P$ 存在极大链 $M$。
  2. M 是链，故由题设有上界 $u \in P$。
  3. 断言 $u$ 是极大元：若不然，存在 $v \in P$ 使 $u \prec v$。则 $M \cup \{v\}$ 仍是链——任取 $m \in M$，由 $m \preceq u \prec v$ 及传递性得 $m \preceq v$，故 $m$ 与 $v$ 可比。于是 $M \subset M \cup \{v\}$ 是一个更大的链，与 $M$ 的极大性矛盾。

  故 $u$ 是 $P$ 的极大元。∎

定义引用 2

• 偏序集 → 本页定义引用

  Hausdorff 极大原理陈述在偏序集 $(P, \preceq )$ 上。

• 链 → 本页定义引用

  整条原理就是在说「链可以长到极大」。