Tukey 引理

谁指向它（入边）

等价 1

• 本页 ⟺ Hausdorff 极大原理等价
  Hausdorff 极大原理 $\iff$ Tukey 引理
  Tukey 引理 ⇒ Hausdorff 极大原理

  设 $(P, \preceq )$ 是偏序集，$C_{0} \subseteq P$ 是链。令 $\mathcal{C} = \{ C \subseteq P : C$ 是链 }。

  1. $\mathcal{C}$ 具有有限特征：对任意 $X \subseteq P$，

  $X$ 是链 $\iff X$ 中任两元素可比 $\iff X$ 的每个有限子集是链 $\iff X$ 的每个有限子集属于 $\mathcal{C}$。

  （最后一个 $\Longleftarrow$ 方向：任取 $x, y \in X$，则 {x, y} 是 $X$ 的有限子集，属于 $\mathcal{C}$，故 $x$ 与 $y$ 可比。）

  1. $\mathcal{C}$ 非空（$\emptyset$ 是链）。由 Tukey 引理，$\mathcal{C}$ 有极大元 $M$，即 $P$ 的极大链。
  2. 若要包含给定的 $C_{0}$：注意 $\mathcal{C}_{0} = \{ C \in \mathcal{C} : C \supseteq C_{0} \}$ 同样具有有限特征——「$X$ 含 $C_{0}$ 且 $X$ 的每个有限子集是链」正是有限特征的形状（含 $C_{0}$ 是整体性质，不对有限子集设限）。对 $\mathcal{C}_{0}$ 用 Tukey 引理即得包含 $C_{0}$ 的极大链。∎
  Hausdorff 极大原理 ⇒ Tukey 引理

  设 $\mathcal{A}$ 是具有有限特征的非空集合族。把 Hausdorff 极大原理用在偏序集 $(\mathcal{A}, \subseteq )$ 上，得到 $\mathcal{A}$ 的一个极大链 $\mathcal{C}$（即 $\mathcal{A}$ 中一族在 $\subseteq$ 下两两可比较、且不能再扩大成员的子族）。

  令

  $$U = \bigcup \{ A : A \in \mathcal{C} \}$$

  1. $U \in \mathcal{A}$：由有限特征，只需证 $U$ 的每个有限子集属于 $\mathcal{A}$。设 $S \subseteq U$ 有限，则每个 $s \in S$ 落在某个 $A_s \in \mathcal{C}$ 中；$\mathcal{C}$ 是 $\subseteq$链而 $S$ 有限，故其中必有最大的 $A_{0}$ 包含 $S$（即 $S \subseteq A_{0}$）。因为 $A_{0} \in \mathcal{A}$ 且 $\mathcal{A}$ 具有有限特征，$A_{0}$ 的每个有限子集都属于 $\mathcal{A}$，特别地 $S \in \mathcal{A}$。故 $U$ 的每个有限子集属于 $\mathcal{A}$，从而 $U \in \mathcal{A}$。
  2. $U$ 是极大元：若存在 $B \in \mathcal{A}$ 使 $U \subset B$，则 $\mathcal{C} \cup \{B\}$ 仍是 $\subseteq$链（每个 $A \in \mathcal{C}$ 满足 $A \subseteq U \subseteq B$），与 $\mathcal{C}$ 的极大性矛盾。

  故 $U$ 是 $(\mathcal{A}, \subseteq )$ 的极大元。∎

  这一对证明很典型：先看出「链」这个概念本身具有有限特征，就把 Hausdorff 原理换成了用起来更省事的 Tukey 引理。

定义引用 1

• 有限特征 → 本页定义引用

  Tukey 引理的唯一前提就是「该集合族具有有限特征」。