有序域

说明

⭐ 第二条相容性只在 $0 \le c$ 时允许「两边同乘」—— 乘负数要反向（$a \le b,\ c \le 0 \implies ac \ge bc$，由前两条推出）。有理数、实数上关于不等式的全部运算规则，归根到底就是这一条。

由两条相容性立刻得到：平方元非负（$a \ge 0 \implies a^2 \ge 0$；$a \le 0 \implies -a \ge 0$ 且 $a^2 = (-a)^2 \ge 0$），特别地 $1 = 1^2 > 0$，故 $-1 < 0$。

📌 「完备」不是这条定义的一部分，它是在有序域上再加一条：每个非空有上界的子集都有上确界。$\mathbb{Q}$ 就是「有序但完备不了」的例子 —— $\{q \in \mathbb{Q} : q^2 < 2\}$ 有上界却没有上确界。