有理数 ℚrationals

有理数 $\mathbb{Q}$ （由 $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ 构造）

定义
依赖深度 layer 9
集合论
数系的构造

def.rat · 定义 · 有理数 · 商集

又称有理数·rationals·ℚ

陈述

在 $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{0\})$ 上定义

(a, b) \sim (c, d) :\iff ad = bc

（直观： $(a, b)$ 代表 $a/b$ ；这条等价关系说的正是「分数值相同」。）令

\mathbb{Q} := (\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{0\})) / \sim

元素记作 $a/b$ 。运算与序：

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} := \frac{ad + bc}{bd}, \qquad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} := \frac{ac}{bd}, \qquad \frac{a}{b} \le \frac{c}{d} :\iff ad \le bc \quad (b, d > 0)

于是 $\mathbb{Q}$ 是一个有序域：四则运算齐全，且与序相容。

说明

⭐ 动机同上： $\mathbb{Z}$ 里除法学不通（ $1/2$ 不存在），但「分子分母的对」总有意义。

⚠ 分母取自 $\mathbb{Z} \setminus \{0\}$ —— 「 $0$ 不能作分母」在这里不是一条约定，而是构造的一部分：分母的集合里根本没有 $0$ 。 ⚠ 记号 $a/b$ 会让人以为「 $a/b$ 是一个函数值」，其实它是等价类；这正好解释了为什么 $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ ：它们是同一个等价类的两个代表元。

⭐ 到此为止四则运算齐全了，但序还不完备： $\{q \in \mathbb{Q} : q^2 < 2\}$ 有上界（比如 $2$ ）却在 $\mathbb{Q}$ 里没有上确界。这正是 $\mathbb{R}$ 要补的那一口气。

它指向谁（出边）

定义引用 2

Cauchy 列与零列用到本页定义引用

Cauchy 列、零列都是有理数列： $\varepsilon$ 取正有理数，绝对值也是 $\mathbb{Q}$ 上的 —— 用 $\mathbb{Q}$ 的序与四则运算就够，不必先有 $\mathbb{R}$ 。
阿基米德性质用到本页定义引用

「 $\mathbb{Q}$ 在 $K$ 中稠密」里的 $\mathbb{Q}$ 就是有理数集在 $K$ 中的嵌入像。

谁指向它（入边）

定义引用 3

整数 ℤ → 本页定义引用

$\mathbb{Q}$ 建在 $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ 上。
商集与等价类 → 本页定义引用

$\mathbb{Q} = (\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus\{0\}))/\sim$ —— 同样是商集。
有序域 → 本页定义引用

⭐ 造完 $\mathbb{Q}$ 的第一件事是核对它是哪一种结构：四则运算齐全（域）、序与运算相容（有序域）—— 它是本图里第一个有序域。

参考

Kunen, Set Theory, I.5

常见问法 1 条

整数和有理数怎么来也看整数 ℤ、商集与等价类

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