三角不等式triangle inequality

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ Cauchy 列与零列推出
  三角不等式 $\implies$ 零列关系是等价关系

  自反、对称直接由定义读出；传递要三角不等式：若 $(x_n) \sim (y_n)$、$(y_n) \sim (z_n)$，则 $|x_n - z_n| \le |x_n - y_n| + |y_n - z_n|$，右边两项都是零列，故 $(x_n) \sim (z_n)$。没有这一条，$\mathbb{R}$ 就没法定义成商集。∎

谁指向它（入边）

推出 1

• 绝对值 |x| ⟹ 本页推出
  绝对值的定义 $\implies$ 三角不等式

  设 $x, y \in K$。先看两个基本事实（都由 $|t| = \max\{t, -t\}$ 直接读出）：

  • $t \le |t|$ 且 $-t \le |t|$，即 $-|t| \le t \le |t|$。

  于是

  $$x \le |x|, \qquad -x \le |x|, \qquad y \le |y|, \qquad -y \le |y|$$

  两两相加（序与加法相容）：

  $$x + y \le |x| + |y|, \qquad -(x + y) \le |x| + |y|$$

  即 $-c \le x + y \le c$，其中 $c := |x| + |y| \ge 0$。而

  $$-c \le t \le c \iff |t| \le c \qquad (c \ge 0)$$

  （$\Longleftarrow$：由 $t \le c$ 与 $-t \le c$ 分别取 $\max$；$\implies$：$|t|$ 等于 $t$ 或 $-t$，两种情形都在 $c$ 以下。）取 $t = x + y$ 得

  $$|x + y| \le |x| + |y| \qquad \blacksquare$$

  变形。 在 $|x + y| \le |x| + |y|$ 中把 $x$ 换成 $x - y$ 得 $|x| \le |x - y| + |y|$，即 $|x| - |y| \le |x - y|$；交换 $x, y$ 得另一侧，两者合起来就是 $\big| |x| - |y| \big| \le |x - y|$。$n$ 元版本由归纳：$|x_1 + \cdots + x_n| \le |x_1 + \cdots + x_{n-1}| + |x_n|$。

定义引用 1

• 有序域 → 本页定义引用

  三角不等式对任意有序域成立 —— 证明只用到分情形与「序与加法相容」。