自然数的加法与乘法

自然数上的加法与乘法（由递推定义）

def.nat-arith · 定义 · 自然数 · 递推 · 加法 · 乘法

又称自然数的加法·自然数的乘法·自然数运算·Peano 算术

陈述

设 ω=N\omega = \mathbb{N}，S(n):=n∪{n}S(n) := n \cup \{n\}，0:=∅0 := \emptyset。用递推定义在 ω\omega 上定义两个运算。

加法：对每个固定的 mm，n↦m+nn \mapsto m + n 是满足下式的唯一 g:ω→ωg : \omega \to \omega：

m+0:=m,m+S(n):=S(m+n)m + 0 := m, \qquad m + S(n) := S(m + n)

乘法：同样地，

m⋅0:=0,m⋅S(n):=m⋅n+mm \cdot 0 := 0, \qquad m \cdot S(n) := m \cdot n + m

说明

为什么只能这样定义：ω\omega 本身就是递归地造出来的，唯一「从 ω\omega 出发造东西」的工具就是递推定义。加法、乘法、幂、序，全从这一条出来。

⚠️ 这两条只是「存在唯一」的断言 —— 存在性正是递推定义定理给的内容，所以它们是定义而不是公理，也不需要额外的公理。

性质靠归纳原理验证（不属于定义）：以 0+n=n0 + n = n 为例 —— n=0n = 0 时两边都是 00；设 0+n=n0 + n = n，则 0+S(n)=S(0+n)=S(n)0 + S(n) = S(0 + n) = S(n) ✓。交换律 m+n=n+mm + n = n + m 要先证两条引理 0+n=n0 + n = n 与 S(m)+n=S(m+n)S(m) + n = S(m + n)，再对 nn 归纳；结合律、分配律 m(n+k)=mn+mkm(n+k) = mn + mk 同理。

⭐ 它是后面所有运算的原型：Z\mathbb{Z} 的加法 [a,b]+[c,d]:=[a+c, b+d][a,b] + [c,d] := [a+c,\ b+d] 里的 ++、Q\mathbb{Q} 的加法、R\mathbb{R} 的逐项加法，里子都是这一个 ++。

它指向谁（出边）

定义引用 1

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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