复数 ℂ

复数系 $\mathbb{C}$ （Complex Numbers）

def.complex · 定义 · 复数

又称复数·complex numbers·ℂ

陈述

复数系 $\mathbb{C} := \mathbb{R}^2$ ，配以下运算：

(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d), \qquad (a, b)(c, d) := (ac - bd, ad + bc)

记 $i := (0, 1)$ ，则每个复数唯一地写成 $z = a + bi$ （ $a, b \in \mathbb{R}$ ）。

$\bar{z} := a - bi$ 是共轭， $|z| := \sqrt{a^2 + b^2}$ 是模；并且

|zw| = |z|\,|w|, \qquad z \bar{z} = |z|^2

于是每个 $z \ne 0$ 都有逆 $z^{-1} = \bar{z}/|z|^2$ ： $\mathbb{C}$ 是一个域。

⭐ $\mathbb{C}$ 与 $\mathbb{R}^2$ 的区别只在乘法 —— 而正是这个乘法让 $\mathbb{C}$ 成为代数闭域（每个多项式都有根），也让复值函数的积分理论比实值情形简洁： $|f|$ 与 $L^p$ 理论的表述不必再分正负部。

⚠ $\mathbb{C}$ 是有序域之外的东西：它上面没有与运算相容的全序。若不然，由 $1 = 1^2 > 0$ 得 $-1 < 0$ ；可是 $i \ne 0$ ，而有序域里平方元非负， $i^2 = -1$ 应当 $\ge 0$ —— 矛盾。

本星图里 $\mathbb{C}$ 主要出现在两处：复值函数的积分（拆实部虚部）、复测度（取值在 $\mathbb{C}$ 里，自动有限）。

复函数的积分用到本页定义引用

复值函数的积分就是拆成 $\operatorname{Re} f$ 、 $\operatorname{Im} f$ 两个实值积分。
复测度用到本页定义引用

复测度取值在 $\mathbb{C}$ 里 —— 所以它自动有限。
L^p 范数用到本页定义引用

$L^p$ 的元素取复值： $f : X \to \mathbb{C}$ 。