ℝ 不可数

谁指向它（入边）

推出 1

• ℝ 是完备有序域 ⟹ 本页推出
  完备性（确界原理）$\implies \mathbb{R}$ 不可数（闭区间套 + 对角线）

  反设 $\mathbb{R} = \{x_1, x_2, x_3, \ldots\}$ 可以排成一个序列。下面造一个不属于这个序列的实数。

  ① 二分法造出一串闭区间。 取 $I_0 := [0, 1]$。已知 $I_{n-1} = [a_{n-1}, b_{n-1}]$ 后，令 $m_n := (a_{n-1} + b_{n-1})/2$，取

  $$I_n := \begin{cases} [a_{n-1}, m_n], & x_n > m_n \\ [m_n, b_{n-1}], & x_n \le m_n \end{cases}$$

  于是 $x_n \notin I_n$，且 $I_0 \supseteq I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots$，长度 $b_n - a_n = 2^{-n} \to 0$。

  ② 完备性给出公共点。 令 $A := \{a_n\}$。$A$ 非空（$a_0 = 0$）且有上界（$1$ 就是上界），故由确界原理 $a := \sup A$ 存在。

  $a \in I_n$ 对每个 $n$ 成立：一方面 $a \ge a_n$（上界）；另一方面对 $k \ge n$ 有 $a_k \le b_k \le b_n$，故 $b_n$ 是 $A$ 的上界，于是 $a \le b_n$。

  ③ 矛盾。 由 ① 知 $x_n \notin I_n$，由 ② 知 $a \in I_n$，所以 $a \ne x_n$ 对一切 $n$ 成立 —— 但 $a \in \mathbb{R} = \{x_1, x_2, \ldots\}$，与序列穷尽了 $\mathbb{R}$ 矛盾。故 $\mathbb{R}$ 不可数。$\blacksquare$

  ④ 基数版本。 把实数写成二进制小数（约定不用最后全 1 的写法以避开歧义）得到 $\mathbb{R} \hookrightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N})$；反过来 $\mathcal{P}(\mathbb{N}) \to \mathbb{R}$ 用三进制展开即可，两边都有单射，由 Schröder–Bernstein 得 $|\mathbb{R}| = |\mathcal{P}(\mathbb{N})| = 2^{\aleph_0}$。再由 Cantor 定理 $|\mathcal{P}(\mathbb{N})| > |\mathbb{N}| = \aleph_0$，即

  $$|\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0} > \aleph_0$$

定义引用 3

• 可数与不可数 → 本页定义引用

  定理说的就是「$\mathbb{R}$ 不可数」。

• 基数 |A| → 本页定义引用

  结论写成基数就是 $|\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0} > \aleph_0$。

• Cantor 定理 → 本页定义引用

  后半句 $2^{\aleph_0} > \aleph_0$ 用的就是 Cantor 定理（$|A| < |\mathcal{P}(A)|$）。