基数 |A|

基数与基数的比较（Cardinality）

定义
依赖深度 layer 8
集合论
基数与等势

def.cardinal · 定义 · 基数

又称基数·cardinality·势·cardinal number

陈述

等势把「所有集合」分成一个个类。「集合 $A$ 的基数」 $|A|$ 指的就是 $A$ 所在的这个等势类 —— 它衡量 $A$ 有多大，而不关心 $A$ 的元素是什么。

比较两个基数：

$|A| \le |B|$ ：存在单射 $A \to B$ ；
$|A| = |B|$ ：存在双射 $A \to B$ （等势）；
$|A| < |B|$ ： $|A| \le |B|$ 但 $|A| \ne |B|$ 。

若 $|A| \le |B|$ 且 $|B| \le |A|$ ，则 $|A| = |B|$ （Schröder–Bernstein 定理）。

说明

⭐ 记号的用法： $|\mathbb{N}| = \aleph_0$ （可数无限）， $|\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}$ ，且 $\aleph_0 < 2^{\aleph_0}$ 。

⚠ 严格说来「等势类」不是集合（它是真类），所以 ZFC 里的通行做法是：先有序数，再用良序定理（ $\iff$ AC）取每个等势类里最小的那个序数作代表，那个序数就叫基数。

本星图只用到「 $|A| \le |B|$ 靠单射、 $|A| = |B|$ 靠双射」这两件事 —— 它们不需要选代表就能用。

⚠ 任意两个基数不一定可比，这正是基数可比定理（要用 AC）的内容。

它指向谁（出边）

定义引用 3

Cantor 定理用到本页定义引用

「 $|A| < |\mathcal{P}(A)|$ 」是一个关于基数的比较。
基数可比定理用到本页定义引用

「任意两个基数可比」是关于基数的命题。
ℝ 不可数用到本页定义引用

结论写成基数就是 $|\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0} > \aleph_0$ 。

谁指向它（入边）

定义引用 2

等势 → 本页定义引用

基数就是等势类：先有「等势」，才谈得上「 $A$ 有多大」。
序数 → 本页定义引用

严格说来「等势类」是真类，通行做法是取每个等势类里最小的序数作代表 —— 那个序数才叫基数。（本图的 $|A|$ 只用到单射/双射，所以这条依赖是概念上的，不是定义上的。）

参考

Kunen, Set Theory, I.6

常见问法 2 条

两个集合什么时候一样大也看等势、Schröder–Bernstein 定理
怎么比较两个无穷的大小也看等势、Cantor 定理

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