序数

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ 序数可比推出
  序数的定义 $\implies$ 三歧性

  设 $\alpha, \beta$ 是序数。

  ① 序数的元素是序数。 若 $\gamma \in \alpha$：$\gamma \subseteq \alpha$（$\alpha$ 传递），故 $\gamma$ 传递（$\gamma$ 的元素属于 $\alpha$，而 $\alpha$ 传递）；又 $\in$ 在 $\gamma$ 上继承 $\alpha$ 上的良序性，故 $\gamma$ 是序数。

  ② 若 $\beta \subset \alpha$ 则 $\beta \in \alpha$。 取 $b$ 为 $\alpha \setminus \beta$ 的 $\in$-最小元。断言 $\beta = b$。 $\subseteq$：设 $x \in \beta$。由 $\beta \subseteq \alpha$ 有 $x \in \alpha$，故 $x, b \in \alpha$；由 $\in$ 在 $\alpha$ 上的三歧性（良序蕴含全序），$x \in b$、$x = b$、$b \in x$ 恰有一个成立。后两种都会给出 $b \in \beta$（$x = b$ 直接，$b \in x$ 用 $\beta$ 传递），与 $b$ 的取法矛盾。故 $x \in b$。 $\supseteq$：设 $x \in b$。由 $\alpha$ 传递得 $x \in \alpha$。若 $x \in \alpha \setminus \beta$，则 $x \in b$ 与 $b$ 的最小性矛盾（$x \in b$ 即 $x$ 比 $b$ 小）。故 $x \in \beta$。 于是 $\beta = b$，而 $b \in \alpha$，即 $\beta \in \alpha$。

  ③ 三歧性。 若 $\alpha \ne \beta$，则 $\alpha \subseteq \beta$ 与 $\beta \subseteq \alpha$ 不能同时成立。不妨设 $\beta \nsubseteq \alpha$，则 $\beta \setminus \alpha \ne \emptyset$，故 $\beta \subset \alpha$ 不成立，由 ② 得 $\alpha \in \beta$。对调 $\alpha, \beta$ 同理。

  ④ 三者不相容。 若 $\alpha \in \beta$ 且 $\beta \in \alpha$，则由传递性 $\alpha \in \alpha$，与 $\in$ 在 $\alpha$ 上是良序（无 $\in$-循环）矛盾。又 $\alpha \in \beta$ 与 $\alpha = \beta$ 显然不相容。

  ⑤ $\in$ 是良序。 可比性已得；非空序数集合 $S$ 取 $\alpha \in S$，若 $\alpha$ 不是 $\in$-最小元，则 $\alpha \cap S$ 是集合，由正则公理有 $\in$-最小元 $m$，而 $m$ 也是 $S$ 的 $\in$-最小元。∎

  ② 是全部关键：「序数之间 $\subset$ 就是 $\in$」。它让序数的比较退化成集合的属于关系。

• 本页 ⟹ 序数全体是真类推出
  序数的定义 + 三歧性 $\implies$ 序数全体是真类

  反设 $\mathrm{On}$ 是一个集合。

  ① $\mathrm{On}$ 传递。 若 $x \in \mathrm{On}$，则 $x$ 是序数，而序数的元素还是序数（见三歧性的证明 ①），故 $x \subseteq \mathrm{On}$。

  ② $\in$ 在 $\mathrm{On}$ 上良序。 可比性来自三歧性；$\mathrm{On}$ 的非空子集 $S$ 取 $\alpha \in S$，若 $\alpha$ 不是 $\in$-最小元，则由正则公理 $\alpha \cap S$ 有 $\in$-最小元，它也是 $S$ 的 $\in$-最小元。

  ③ 于是 $\mathrm{On}$ 是序数。 ①② 正是序数定义的两条。

  ④ 矛盾。 $\mathrm{On}$ 是序数故 $\mathrm{On} \in \mathrm{On}$，与 $\in$ 在 $\mathrm{On}$ 上良序（无 $\in$-循环）矛盾。∎

  「序数全体」是真类而不是集合 —— 所以分离公理模式不能用在它身上。这正是 ZFC 处理 Russell 悖论、Burali–Forti 悖论的统一办法。

定义引用 3

• Hartogs 定理 用到 本页定义引用

  Hartogs 定理陈述里的「不能单射进 $X$ 的序数」直接用到序数。

• 基数可比定理 用到 本页定义引用

  基数可比定理的证明路线是「先良序化 $\to$ 换成序数 $\to$ 序数一定可比」，落点正是序数。

• 基数 |A| 用到 本页定义引用

  严格说来「等势类」是真类，通行做法是取每个等势类里最小的序数作代表 —— 那个序数才叫基数。（本图的 $|A|$ 只用到单射/双射，所以这条依赖是概念上的，不是定义上的。）

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 良序集 → 本页定义引用

  序数的第二条要求是「$\in$ 在 $\alpha$ 上是良序」—— 先有良序集这个概念，才能说传递集上的 $\in$ 是不是良序。