序数全体是真类

Burali–Forti：序数全体不构成集合

定理
依赖深度 layer 9
集合论
序数与超限

thm.burali-forti · 定理 · 序数 · 真类 · 悖论 · ZF

又称Burali-Forti·序数全体是真类·布拉利-福尔蒂

陈述

序数全体 $\mathrm{On}$ 不构成集合（它是一个真类）：不存在一个集合，它的元素恰好是全部序数。

说明

证明只有一行：若 $\mathrm{On}$ 是集合，则它是传递的（序数的元素还是序数）， $\in$ 在它上面是良序（三歧性给出可比性），于是 $\mathrm{On}$ 本身就是一个序数，从而 $\mathrm{On} \in \mathrm{On}$ —— 与序数不能自属矛盾（ $\in$ 在序数上是良序，不允许 $\in$ -循环）。

⭐ 这正是 Hartogs 定理的另一面：序数多到装不进任何集合。「存在不能单射进 $X$ 的序数」与「序数全体是真类」说的是同一件事。

⚠ 与 Russell 悖论的关系：两者都是「把某个『全体』当成集合」引起的矛盾。在 ZFC 里它们的解决方式也一样 —— 那个「全体」是真类，不是集合，因此分离公理模式根本无从下手。

谁指向它（入边）

推出 1

序数、序数可比 ⟹ 本页推出

序数的定义 + 三歧性 $\implies$ 序数全体是真类

反设 $\mathrm{On}$ 是一个集合。
① $\mathrm{On}$ 传递。 若 $x \in \mathrm{On}$ ，则 $x$ 是序数，而序数的元素还是序数（见三歧性的证明 ①），故 $x \subseteq \mathrm{On}$ 。
② $\in$ 在 $\mathrm{On}$ 上良序。 可比性来自三歧性； $\mathrm{On}$ 的非空子集 $S$ 取 $\alpha \in S$ ，若 $\alpha$ 不是 $\in$ -最小元，则由正则公理 $\alpha \cap S$ 有 $\in$ -最小元，它也是 $S$ 的 $\in$ -最小元。
③ 于是 $\mathrm{On}$ 是序数。 ①② 正是序数定义的两条。
④ 矛盾。 $\mathrm{On}$ 是序数故 $\mathrm{On} \in \mathrm{On}$ ，与 $\in$ 在 $\mathrm{On}$ 上良序（无 $\in$ -循环）矛盾。∎

「序数全体」是真类而不是集合 —— 所以分离公理模式不能用在它身上。这正是 ZFC 处理 Russell 悖论、Burali–Forti 悖论的统一办法。

参考

Kunen, Set Theory, I.11
Jech, Set Theory, 2.2

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