序数可比

设 $(W, \preceq )$ 是良序集。

① 造出函数。 由递归定理（取 $G(f) = \operatorname{ran}\, f$，即「前面全部取值的值域」）得到唯一的 $F$ 定义在 $W$ 上，使

每个 $F(w)$ 都是集合 —— 由替换公理模式，$\{ F(v) : v \prec w \}$ 是某个集合的像。

② $F$ 保序。 若 $v \prec w$，则 $F(v) \in \{ F(u) : u \prec w \} = F(w)$。反过来若 $F(v) \in F(w)$，则 $F(v) = F(u)$ 对某个 $u \prec w$；再由 ③ 的单射性得 $v = u \prec w$。

③ $F$ 是单射。 反设存在 $v \ne w$ 使 $F(v) = F(w)$；由于 $\preceq$ 是全序，不妨 $v \prec w$。由 ② 得 $F(v) \in F(w) = F(v)$，即 $F(v) \in F(v)$ —— 与「任何集合都不属于自身」（正则公理的推论）矛盾。（这一步是真正用到正则公理的地方。）

④ $\alpha := \operatorname{ran}\, F$ 是序数。 由替换公理模式，$\alpha = \{ F(w) : w \in W \}$ 是集合。传递性：若 $x \in F(w)$，则 $x = F(v)$ 对某个 $v \prec w$，故 $x \in \alpha$。$\in$ 良序：$\alpha$ 上的 $\in$ 经 ②③ 就是 $(W, \prec)$ 的序（$x \in y \iff F^{-1}(x) \prec F^{-1}(y)$），良序性原样搬过来。

⑤ 于是 $F$ 是 $(W, \preceq ) \to (\alpha, \in)$ 的序同构，故 $W$ 的序型 $\alpha$ 存在。

⑥ 唯一性。 设 $\alpha, \beta$ 都是 $W$ 的序型，则 $(\alpha, \in) \cong (\beta, \in)$。由三歧性，$\alpha \in \beta$、$\alpha = \beta$、$\beta \in \alpha$ 恰有一个成立。若 $\alpha \in \beta$：由 $\beta$ 传递得 $\alpha \subseteq \beta$，且 $\alpha = \{ x \in \beta : x \in \alpha \}$ 是 $\beta$ 的真初始段。把两个序同构接起来，得到 $(\alpha, \in)$ 与自己的真初始段序同构 —— 而良序集不能与自己的真初始段序同构（见下），矛盾。故 $\alpha \notin \beta$；交换 $\alpha, \beta$ 同理得 $\beta \notin \alpha$。于是只能 $\alpha = \beta$。

引理（上一步用到）：良序集 $(L, \prec)$ 不可能与它的真初始段 $L_{< a} = \{ x \in L : x \prec a \}$ 序同构。 证：设 $h : L \to L_{< a}$ 是序同构。对 $x \prec a$ 用超限归纳：若 $\forall y \prec x,\ h(y) = y$，则 $h(x)$ 是 $L_{< a}$ 中大于一切 $h(y) = y\ (y \prec x)$ 的最小元，也就是「大于一切 $y \prec x$ 的最小元」，即 $h(x) = x$（序同构把「小于 $x$ 的全部元素」映成「小于 $h(x)$ 的全部元素」）。故 $h$ 在 $L_{< a}$ 上恒等；于是 $h(a)$ 是 $L_{< a}$ 中大于一切 $y \prec a$ 的最小元，即 $h(a) = a$ —— 但 $h(a) \in L_{< a}$ 意为 $h(a) \prec a$，矛盾。∎

反设 $\mathrm{On}$ 是一个集合。

① $\mathrm{On}$ 传递。 若 $x \in \mathrm{On}$，则 $x$ 是序数，而序数的元素还是序数（见三歧性的证明 ①），故 $x \subseteq \mathrm{On}$。

② $\in$ 在 $\mathrm{On}$ 上良序。 可比性来自三歧性；$\mathrm{On}$ 的非空子集 $S$ 取 $\alpha \in S$，若 $\alpha$ 不是 $\in$-最小元，则由正则公理 $\alpha \cap S$ 有 $\in$-最小元，它也是 $S$ 的 $\in$-最小元。

③ 于是 $\mathrm{On}$ 是序数。 ①② 正是序数定义的两条。

④ 矛盾。 $\mathrm{On}$ 是序数故 $\mathrm{On} \in \mathrm{On}$，与 $\in$ 在 $\mathrm{On}$ 上良序（无 $\in$-循环）矛盾。∎

设 $\alpha, \beta$ 是序数。

① 序数的元素是序数。 若 $\gamma \in \alpha$：$\gamma \subseteq \alpha$（$\alpha$ 传递），故 $\gamma$ 传递（$\gamma$ 的元素属于 $\alpha$，而 $\alpha$ 传递）；又 $\in$ 在 $\gamma$ 上继承 $\alpha$ 上的良序性，故 $\gamma$ 是序数。

② 若 $\beta \subset \alpha$ 则 $\beta \in \alpha$。 取 $b$ 为 $\alpha \setminus \beta$ 的 $\in$-最小元。断言 $\beta = b$。 $\subseteq$：设 $x \in \beta$。由 $\beta \subseteq \alpha$ 有 $x \in \alpha$，故 $x, b \in \alpha$；由 $\in$ 在 $\alpha$ 上的三歧性（良序蕴含全序），$x \in b$、$x = b$、$b \in x$ 恰有一个成立。后两种都会给出 $b \in \beta$（$x = b$ 直接，$b \in x$ 用 $\beta$ 传递），与 $b$ 的取法矛盾。故 $x \in b$。 $\supseteq$：设 $x \in b$。由 $\alpha$ 传递得 $x \in \alpha$。若 $x \in \alpha \setminus \beta$，则 $x \in b$ 与 $b$ 的最小性矛盾（$x \in b$ 即 $x$ 比 $b$ 小）。故 $x \in \beta$。 于是 $\beta = b$，而 $b \in \alpha$，即 $\beta \in \alpha$。

③ 三歧性。 若 $\alpha \ne \beta$，则 $\alpha \subseteq \beta$ 与 $\beta \subseteq \alpha$ 不能同时成立。不妨设 $\beta \nsubseteq \alpha$，则 $\beta \setminus \alpha \ne \emptyset$，故 $\beta \subset \alpha$ 不成立，由 ② 得 $\alpha \in \beta$。对调 $\alpha, \beta$ 同理。

④ 三者不相容。 若 $\alpha \in \beta$ 且 $\beta \in \alpha$，则由传递性 $\alpha \in \alpha$，与 $\in$ 在 $\alpha$ 上是良序（无 $\in$-循环）矛盾。又 $\alpha \in \beta$ 与 $\alpha = \beta$ 显然不相容。

⑤ $\in$ 是良序。 可比性已得；非空序数集合 $S$ 取 $\alpha \in S$，若 $\alpha$ 不是 $\in$-最小元，则 $\alpha \cap S$ 是集合，由正则公理有 $\in$-最小元 $m$，而 $m$ 也是 $S$ 的 $\in$-最小元。∎