Hartogs 定理

设 $(P, \preceq )$ 是非空偏序集，且 $P$ 的每个链都有上界。目标是造出一个极大元。

① 一个选择函数：由 AC，$\mathcal{P}(P) \setminus \{\emptyset \}$ 上有选择函数 $\varphi$，即 $\varphi (A) \in A$ 对每个非空 $A \subseteq P$ 成立。整段证明只挑这一次。

② 链的严格上界：对链 $C \subseteq P$ 记

（约定 $S(\emptyset ) = P$。）注意「$C$ 有上界」与「$S(C) \ne \emptyset$」不是一回事：$S$ 要的是严格上界。

③ 超限递归：只要 $S$ 非空就往下走 ——

于是得到一列严格递增的 $p(0) \prec p(1) \prec p(2) \prec \cdots$。第 0 步用 $S(\emptyset ) = P \ne \emptyset$，所以 $p(0) = \varphi (P)$ 有定义。

④ 必停：由 Hartogs 定理，$\aleph (P)$ 是不能单射进 $P$ 的最小序数。把递归的上限取到 $\aleph (P)$ 就够 —— 若对一切 $\alpha < \aleph (P)$ 都不停，则 $\alpha \mapsto p(\alpha )$ 就是一个单射 $\aleph (P) \to P$，与 $\aleph (P)$ 的定义矛盾。故存在 $\alpha _{0} < \aleph (P)$ 使 $S(\{ p(\beta ) : \beta < \alpha _{0} \}) = \emptyset$。（这一步只用到 ZF，不用 AC。）

⑤ 停下来就给极大元：令 $C = \{ p(\beta ) : \beta < \alpha _{0} \}$，它是 $P$ 的一个链（而且是严格递增的），由题设存在上界 $u \in P$。

⑥ $u$ 是极大元：若存在 $v \in P$ 使 $u \prec v$，则由 $u \succeq c$（$\forall c \in C$）与传递性得 $v \succ c$（$\forall c \in C$），即 $v \in S(C)$ —— 与 $S(C) = \emptyset$ 矛盾。故 $u$ 是 $P$ 的极大元。∎

$>$ 这一路线的分工很干净：AC 负责「挑」，Hartogs 负责「停」。对比之下，经由良序定理的证法（见「良序定理 $\iff$ 佐恩引理」那条黑线）是把「停」交给 Burali–Forti 悖论。