等势

等势（Equinumerous）

定义
依赖深度 layer 7
集合论
基数与等势

def.equinumerous · 定义 · 基数

又称等势·一样大·基数相同·equipotent·same cardinality

陈述

集合 $A$ 与 $B$ 等势（记 $|A| = |B|$ 或 $A \approx B$ ），当且仅当存在双射

f : A \to B

「等势」是集合之间的一种等价关系：自反（恒等映射）、对称（逆映射）、传递（合成）。

说明

⭐ 这是比较大小的正确方式：不去数个数（无限集数不完），而是问「能不能一一配对」。

经典结果：

$\mathbb{N}$ 与 $\mathbb{Q}$ 、 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 都等势（可数）；
$(0, 1)$ 与 $\mathbb{R}$ 等势（ $x \mapsto \tan \pi(x - 1/2)$ 之类）；
$\mathbb{N}$ 与 $\mathbb{R}$ 不等势（Cantor 定理）。

⚠ $A \subseteq B$ 与「等势」无关： $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$ 但两者等势 —— 这正是无限集与有限集的分界（Dedekind 的刻画：与某个真子集等势 $\iff$ 无限）。

它指向谁（出边）

定义引用 2

基数 |A| 用到本页定义引用

基数就是等势类：先有「等势」，才谈得上「 $A$ 有多大」。
可数与不可数用到本页定义引用

可数 = 与 $\mathbb{N}$ 等势；至多可数 = 能单射进 $\mathbb{N}$ 。

谁指向它（入边）

定义引用 1

单射 / 满射 / 双射 → 本页定义引用

等势的定义就是「存在双射」。

参考

Kunen, Set Theory, I.6

常见问法 2 条

两个集合什么时候一样大也看基数 |A|、Schröder–Bernstein 定理
怎么比较两个无穷的大小也看基数 |A|、Cantor 定理

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