基数可比定理

基数可比定理（需要选择公理）

定理
依赖深度 layer 10
集合论
基数与等势

thm.cardinal-comparable · 定理 · 基数 · 选择

又称基数可比·三分律

陈述

在选择公理下：对任意两个集合 $A$ 、 $B$ ，必有

|A| \le |B| \quad \text{或} \quad |B| \le |A|

即任意两个基数都可以比较大小。

说明

⭐ 这条是「基数排序」的许可证：没有它，连「 $A$ 比 $B$ 大」这句话都可能毫无意义。

证明路线（见边）：良序定理把 $A$ 、 $B$ 都良序化 $\to$ 对应的序数可以比较 $\to$ 于是有一个方向能放进单射。所以这条定理与 AC、良序定理是同一件事的三种说法。

⚠ 没有 AC 时确实有不可比的基数（Jech, The Axiom of Choice）。

English draft

Translation of the statement above · machine-drafted, pending author review · the Chinese text is authoritative.

Abstract

Assuming the axiom of choice, any two sets $A$ , $B$ satisfy $|A| \le |B|$ or $|B| \le |A|$ , that is, any two cardinals are comparable. This is the licence for ordering cardinals at all: without it even " $A$ is bigger than $B$ " can be meaningless. The proof runs through the well-ordering theorem: well-order both sets, compare the corresponding ordinals, and read off an injection in one direction. Without AC there really are incomparable cardinals.

谁指向它（入边）

推出 1

良序定理 ⟹ 本页推出

良序定理 $\implies$ 任意两个基数可比
设 $A$ 、 $B$ 是任意两个集合。
① 良序化。 由良序定理， $A$ 上有一个良序 $\preceq_A$ 、 $B$ 上有一个良序 $\preceq_B$ 。
② 换成序数。 每个良序集序同构于唯一的一个序数，记作 $\alpha$ 、 $\beta$ 。于是只需比较两个序数。
③ 序数可比。 对任意两个序数 $\alpha$ 、 $\beta$ ，总有 $\alpha \in \beta$ 、 $\alpha = \beta$ 、 $\beta \in \alpha$ 三者之一成立（这一步是序数理论的基本事实，用的是良序性）。
- 若 $\alpha \subseteq \beta$ ：序同构给出单射 $A \to B$ ，于是 $|A| \le |B|$ ；
- 若 $\beta \subseteq \alpha$ ：同理 $|B| \le |A|$ 。
所以必有 $|A| \le |B|$ 或 $|B| \le |A|$ 。 $\blacksquare$
反过来说：基数可比定理 $\implies$ 良序定理（取 $A$ 、 $B$ 中能单射进另一个的那个方向，可以良序化较小的集合，再把良序搬到较大集合上）。所以它与 AC、良序定理、佐恩引理是同一件事。

定义引用 3

基数 |A| → 本页定义引用

「任意两个基数可比」是关于基数的命题。
序数 → 本页定义引用

基数可比定理的证明路线是「先良序化 $\to$ 换成序数 $\to$ 序数一定可比」，落点正是序数。
选择公理 → 本页定义引用

基数可比定理的前提里点名了选择公理：没有它，两个基数未必比得出大小。

参考

Jech, The Axiom of Choice, Ch. 3

常见问法 1 条

不用选择公理能不能比较基数也看选择公理

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