可数与不可数

可数 / 至多可数（Countable）

定义
依赖深度 layer 8
集合论
基数与等势

def.countable · 定义 · 基数 · 可数

又称可数·countable·可数无穷·可列

陈述

设 $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\}$ 是自然数集。

集合 $A$ 可数，当且仅当存在双射 $A \to \mathbb{N}$ （即能把 $A$ 排成一个无穷序列 $a_0, a_1, a_2, \ldots$ ，一个不漏、一个不重）。

既有限又可数的情形合起来叫至多可数： $A$ 至多可数 $\iff$ 存在单射 $A \to \mathbb{N}$ 。

不是至多可数的集合叫不可数。

说明

⭐ 这一条撑起了两大块内容：

$\sigma$ -环 / $\sigma$ -代数 / 单调类：可数并、可数交里的「可数」就是它；
测度的可数可加： $\mu(\bigcup_n E_n) = \sum_n \mu(E_n)$ 里的下标集要可数。

基本事实： $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 可数；至多可多个可数集的并仍可数； $\mathbb{R}$ 不可数（Cantor 对角线法）。

⚠ 「可数」不是「数得完」： $\mathbb{N}$ 自己就可数但数不完。

它指向谁（出边）

定义引用 1

ℝ 不可数用到本页定义引用

定理说的就是「 $\mathbb{R}$ 不可数」。

谁指向它（入边）

定义引用 3

单射 / 满射 / 双射 → 本页定义引用

可数就是「存在双射 $A \to \mathbb{N}$ 」；至多可数是「存在单射」。
自然数集存在 → 本页定义引用

$\mathbb{N}$ 由无穷公理给出（见「自然数集存在」），可数就是拿它当标尺去量别的集合。
等势 → 本页定义引用

可数 = 与 $\mathbb{N}$ 等势；至多可数 = 能单射进 $\mathbb{N}$ 。

参考

Kunen, Set Theory, I.6

常见问法 1 条

实数为什么比自然数多也看 Cantor 定理、ℝ 不可数

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