整数 ℤintegers

整数 $\mathbb{Z}$ （由 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 构造）

定义
依赖深度 layer 8
集合论
数系的构造

def.int · 定义 · 整数 · 商集

又称整数·integers·ℤ

陈述

在 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 上定义

(a, b) \sim (c, d) :\iff a + d = b + c

（直观： $(a, b)$ 代表 $a - b$ ；这条等价关系说的正是「差相同」。）它确实是一个等价关系。令

\mathbb{Z} := (\mathbb{N} \times \mathbb{N}) / \sim

元素记作 $[a, b]$ （即 $a - b$ ）。 $\mathbb{Z}$ 上的运算与序（都要先验证与代表元无关）：

[a, b] + [c, d] := [a + c,\ b + d]

[a, b] \cdot [c, d] := [ac + bd,\ ad + bc]

[a, b] \le [c, d] :\iff a + d \le b + c

其中加法与序来自 $\mathbb{N}$ 的加法与序，乘法的写法是照着 $(a - b)(c - d) = ac + bd - (ad + bc)$ 抄的。

说明

⭐ 动机一句话： $\mathbb{N}$ 里减法学不通（ $3 - 5$ 不存在），但「 $3 - 5$ 」这个对总有意义 —— 于是把「差」本身当成新对象。

副产品： $\mathbb{Z}$ 有加法零元 $[0, 0] = 0$ 与加法逆元 $-[a, b] = [b, a]$ —— 这正是 $\mathbb{N}$ 缺的东西。

⚠ $\mathbb{Z}$ 里 $\mathbb{N}$ 是通过 $a \mapsto [a, 0]$ 嵌进去的（单射且保持运算与序），所以写 $3 \in \mathbb{Z}$ 时用的是这个嵌入 —— 这一步不能省。

English draft

Translation of the statement above · machine-drafted, pending author review · the Chinese text is authoritative.

Abstract

The integers as a quotient: on $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ put $(a,b) \sim (c,d) \iff a + d = b + c$ (same difference) and set $\mathbb{Z} := (\mathbb{N} \times \mathbb{N})/{\sim}$ , writing $[a,b]$ for $a - b$ . Addition, multiplication and order are defined on representatives and must be checked independent of them. Motivation: subtraction fails in $\mathbb{N}$ , but the pair $3 - 5$ is meaningful, so the difference itself is taken as the object; $[0,0]$ and $[b,a]$ supply the missing zero and inverses. $\mathbb{N}$ embeds via $a \mapsto [a,0]$ .

它指向谁（出边）

定义引用 1

有理数 ℚ 用到本页定义引用

$\mathbb{Q}$ 建在 $\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus\{0\})$ 上。

谁指向它（入边）

定义引用 4

自然数的加法与乘法 → 本页定义引用

$\mathbb{Z}$ 的加法 $[a,b] + [c,d] := [a+c, b+d]$ 里子里的 $+$ ，就是自然数的加法。
自然数集存在 → 本页定义引用

$\mathbb{Z}$ 建在 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ 上，运算与序都来自 $\mathbb{N}$ 。
商集与等价类 → 本页定义引用

$\mathbb{Z} = (\mathbb{N} \times \mathbb{N})/\sim$ —— 一个商集。
归纳原理与递推定义 → 本页定义引用

加法、乘法、序的良定义都要用归纳/递推来验。

参考

Kunen, Set Theory, I.5

常见问法 1 条

整数和有理数怎么来也看有理数 ℚ、商集与等价类

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