商集与等价类

商集 / 等价类（Quotient Set）

def.quotient-set · 定义 · 等价类 · 商集

又称商集·等价类·quotient·equivalence class

陈述

设 $\sim$ 是集合 $A$ 上的一个等价关系。对 $a \in A$ ，称

[a] := \{ b \in A : b \sim a \}

为 $a$ 的等价类；称

A / \sim\ := \{ [a] : a \in A \}

为 $A$ 关于 $\sim$ 的商集。三条基本事实：

⭐ 这是数学里「造新对象」最常用的手法：手头只有一类东西，却想得到另一类，就把前者按某个等价关系粘起来。本星图里至少四处用到：

$\mathbb{Z} = (\mathbb{N} \times \mathbb{N})/\sim$ 、 $\mathbb{Q} = (\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus\{0\}))/\sim$ 、 $\mathbb{R} = \{$ 有理 Cauchy 列 $\}/\sim$ ；
$L^1$ 、 $L^p$ 的元素其实是函数的等价类（a.e. 相等视为同一个）；
RN 导数 $d\nu/d\mu$ 也是一个等价类，而不是单个函数。

⚠ 等价类的代表元不唯一，所以凡是要在商集上定义的东西（运算、序、范数），都必须先证明「与代表元的选取无关」，也就是良定义。这是商构造最容易漏掉的一步。

整数 ℤ 用到本页定义引用

$\mathbb{Z} = (\mathbb{N} \times \mathbb{N})/\sim$ —— 一个商集。
有理数 ℚ 用到本页定义引用

$\mathbb{Q} = (\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus\{0\}))/\sim$ —— 同样是商集。
Cauchy 列与零列用到本页定义引用

「等价」在这里就是商集意义上的等价关系：把同一个实数的不同逼近方式粘成一类。
实数系 ℝ 用到本页定义引用

和 $\mathbb{Z}$ 、 $\mathbb{Q}$ 是同一招：把已有对象按等价关系粘成等价类。整条链 $\mathbb{N} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ 用的都是这一个手法。
可积 / L¹ 用到本页定义引用

$L^1$ 的元素不是函数本身，而是函数在 a.e. 相等下的等价类 —— 后面 $L^p$ 、RN 导数用的是同一个手法。
商群用到本页定义引用

商群 = 陪集做成的商集再加一层运算。