像与原像

像与原像（Image / Preimage）

def.preimage · 定义 · 映射 · 像 · 原像

又称原像·preimage·inverse image·像

陈述

设 $f : X \to Y$ 是映射。

对 $A \subseteq X$ ， $A$ 的像是 $f(A) := \{\, f(x) : x \in A \,\} \subseteq Y$ ；
对 $B \subseteq Y$ ， $B$ 的原像是 $f^{-1}(B) := \{\, x \in X : f(x) \in B \,\} \subseteq X$ 。

⭐ 原像对并、交、补全部保持，而且不需要任何额外假设：

f^{-1}\Bigl(\bigcup_{i} B_{i}\Bigr) = \bigcup_{i} f^{-1}(B_{i}), \qquad f^{-1}\Bigl(\bigcap_{i} B_{i}\Bigr) = \bigcap_{i} f^{-1}(B_{i}), \qquad f^{-1}(B^{c}) = \bigl(f^{-1}(B)\bigr)^{c}

像没有这些性质： $f(A \cap A') \subseteq f(A) \cap f(A')$ 一般只是包含，取等要 $f$ 单射。这正是「连续」（每个开集的原像是开集）与「可测」（每个可测集的原像可测）都用原像、不用像来定义的原因。

证明（补集，其余两条逐字同理）： $x \in f^{-1}(B^{c}) \iff f(x) \in B^{c} \iff f(x) \notin B \iff x \notin f^{-1}(B) \iff x \in \bigl(f^{-1}(B)\bigr)^{c}$ ✓。∎

记号： $f^{-1}$ 有两种用法 —— 作用在元素上（ $f^{-1}(y)$ ）是逆映射，只在 $f$ 可逆时有意义；作用在集合上（ $f^{-1}(B)$ ）是原像，永远有意义。看参数是元素还是集合就能分辨，两种含义在 $f$ 可逆时一致。