函数

函数（Function）

def.number-function · 定义 · 函数 · 数集

又称函数·实值函数·复值函数·多元函数·function

陈述

设 $f : X \to Y$ 是映射。若它的取值落在数集里 —— 即 $Y \subseteq \mathbb{R}$ 或 $Y \subseteq \mathbb{C}$ —— 就叫 $f$ 是一个函数。

按中学课本的说法是「数集到数集的映射」；本图把定义域那一边放宽： $X$ 可以是任意集合（测度空间、拓扑空间、甚至另一个函数空间）。

⭐ 为什么要和「映射」分开：「映射」是集合层面最一般的说法（几何体之间、群之间、函子之间都用它）；「函数」专指取值在数集的那些 —— 只有输出是数，才谈得上加减乘、大小、取极限、求导、求积分。图里出现「函数」的地方几乎都在用这些结构。

常用叫法： $Y = \mathbb{R}$ 的叫实值函数， $Y = \mathbb{C}$ 的叫复值函数， $\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ 的叫多元函数。

⚠️ 中学课本的定义是「数集到数集的映射」。本图只要求陪域是数集： $f : X \to \mathbb{R}$ 里 $X$ 完全可以是一般的集合 —— 否则「可测函数」「连续函数」「 $L^{p}$ 里的函数」都得另起名字，反而更绕。定义域也要求是数集的话，那些全都不是函数了。