理想

理想与商环（Ideal）

def.ideal · 代数 · 环 · 理想 · 商环

又称理想·ideal·商环·quotient ring·主理想

陈述

设 AA 是环。子集 I⊆AI \subseteq A 叫（双边）理想，如果 (I,+)(I, +) 是加法子群，并且对一切 a∈Aa \in A、x∈Ix \in I 有

ax∈I与xa∈I.a x \in I \quad \text{与} \quad x a \in I.

（只要求 ax∈Ia x \in I 的叫左理想，只要求 xa∈Ix a \in I 的叫右理想；交换环里三者一致。）

商集 A/IA/I（按加法陪集）上的乘法 (a+I)(b+I):=ab+I(a + I)(b + I) := ab + I 良定义，得到的环叫商环。

说明

为什么理想这样定义。 与正规子群一模一样的问题：想在商集上定义乘法，就要让 (a+I)(b+I)(a + I)(b + I) 与代表元无关。算一下 (a+x)(b+y)=ab+ay+xb+xy(a + x)(b + y) = ab + ay + xb + xy —— 后面三项都得落在 II 里。xy∈Ixy \in I 由「II 是子群」保证不了，必须额外要求。

⭐ 对照表：群要商出群，商掉的是正规子群；环要商出环，商掉的是理想。（II 作为加法子群当然自动正规 —— 加法群是阿贝尔群 —— 所以那一边不用另加条件。）

主理想 (a):={ xa:x∈A }(a) := \{\, xa : x \in A \,\}（交换环里就是 aa 的倍数全体）。A/(a)A/(a) 是「把 aa 当成 00」造出来的环；Z/(n)=Z/nZ\mathbb{Z}/(n) = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} 就是模 nn 同余。

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

常见问法 1 条

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