群同态、核与像

群同态（Group Homomorphism）

def.group-hom · 代数 · 群 · 同态 · 核 · 像

又称群同态·group homomorphism·核·kernel·像·image

陈述

设 (G,⋅)(G, \cdot)、(G′,∗)(G', \ast) 是群。映射 φ:G→G′\varphi : G \to G' 叫群同态，如果

φ(ab)=φ(a)∗φ(b)(a,b∈G).\varphi(a b) = \varphi(a) \ast \varphi(b) \qquad (a, b \in G).

它的核与像分别是

ker⁡φ:={ g∈G:φ(g)=e′ }  ⊆  G,im⁡φ:=φ(G)  ⊆  G′.\ker\varphi := \{\, g \in G : \varphi(g) = e' \,\} \;\subseteq\; G, \qquad \operatorname{im}\varphi := \varphi(G) \;\subseteq\; G'.

说明

同态自动保单位元与逆元：φ(e)=e′\varphi(e) = e'、φ(a−1)=φ(a)−1\varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}（由 φ(e)=φ(ee)=φ(e)φ(e)\varphi(e) = \varphi(e e) = \varphi(e)\varphi(e) 两边消去得到）。所以定义里只需写一条等式。

核与像都是子群：im⁡φ≤G′\operatorname{im}\varphi \le G' 显然；ker⁡φ≤G\ker\varphi \le G 由 φ(ab−1)=φ(a)φ(b)−1=e′\varphi(ab^{-1}) = \varphi(a)\varphi(b)^{-1} = e' 得到。

⭐ 核还是正规子群：对 k∈ker⁡φk \in \ker\varphi、g∈Gg \in G，

φ(gkg−1)=φ(g) e′ φ(g)−1=e′,\varphi(g k g^{-1}) = \varphi(g)\, e'\, \varphi(g)^{-1} = e',

所以 gkg−1∈ker⁡φgkg^{-1} \in \ker\varphi，即 ker⁡φ⊴G\ker\varphi \trianglelefteq G。核总是正规的 —— 这正是「商群能商掉核」的全部理由。

单同态   ⟺  \iff 核平凡：φ\varphi 是单射   ⟺  \iff ker⁡φ={e}\ker\varphi = \{e\}。于是「单」这个性质被一个子群完全编码了。

它指向谁（出边）

定义引用 2

谁指向它（入边）

定义引用 3

参考

常见问法 2 条

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