交换化abelianization

交换化 $G \mapsto G^{\mathrm{ab}}$ 是左伴随

prop.abelianization · 代数 · 群 · 交换化 · 伴随

又称交换化·abelianization·换位子子群·G ab·Exercise 1.9

陈述

交换化函子

(-)^{\mathrm{ab}} : \mathbf{Grp} \longrightarrow \mathbf{Ab}, \qquad G \longmapsto G^{\mathrm{ab}} := G / [G, G]

是含入函子 $\mathbf{Ab} \hookrightarrow \mathbf{Grp}$ 的左伴随。

记号 $[G, G]$ 是换位子子群（由所有 $g h g^{-1} h^{-1}$ 生成）—— 它是正规子群，商掉它正好把「非交换性」清零。

⭐ 伴随的读法：任何群同态 $G \to A$ （ $A$ 阿贝尔）都唯一地穿过 $G \to G^{\mathrm{ab}}$ 。也就是说「从 $G$ 到阿贝尔群」的映射全都只看 $G^{\mathrm{ab}}$ —— 这就是「交换化是最经济的把群变阿贝尔的办法」。

例子：自由群 $F(S)^{\mathrm{ab}} \cong \mathbb{Z}^{\oplus S}$ （自由阿贝尔群）。所以「自由阿贝尔群函子」= 「自由群函子」再交换化。

证明。 要造自然双射

\operatorname{Hom}_{\mathbf{Grp}}(G,\ A) \;\cong\; \operatorname{Hom}_{\mathbf{Ab}}\bigl(G^{\mathrm{ab}},\ A\bigr),\qquad A\ \text{阿贝尔}.

良定义：任给群同态 $\varphi : G\to A$ （ $A$ 阿贝尔）。换位子 $ghg^{-1}h^{-1}$ 被送到 $\varphi(g)\varphi(h)\varphi(g)^{-1}\varphi(h)^{-1} = e$ （交换性！），故 $[G,G] \subseteq \ker\varphi$ ，于是 $\varphi$ 唯一地穿过商 $G\twoheadrightarrow G^{\mathrm{ab}}$ ✓。
反向是 $G\to G^{\mathrm{ab}}$ 与函数的复合 ✓，且两个方向互逆（在 $G^{\mathrm{ab}}$ 上验一次、在 $\operatorname{Hom}(G,A)$ 上验一次）✓。
自然性对 $G$ 与 $A$ 都逐项验证（ $G\to G'$ 的像把 $[G,G]$ 送进 $[G',G']$ ，故诱导 $G^{\mathrm{ab}}\to G'^{\mathrm{ab}}$ ）✓。∎

⭐ 这正是「交换化是左伴随」的含义：它是「把非交换性清零」的最经济的函子 —— 任何到阿贝尔群的映射都只能看到 $G^{\mathrm{ab}}$ 。