级数收敛

级数 $\sum a_n$ （Series）

定义
依赖深度 layer 14
分析学
实数与极限

def.series · 定义 · 极限

又称级数·series·级数收敛

陈述

给定数列 $\{a_n\}$ ，令部分和 $s_N := \sum_{n=1}^{N} a_n$ 。

称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，当且仅当部分和数列 $\{s_N\}$ 收敛，此时记

\sum_{n=1}^{\infty} a_n := \lim_{N \to \infty} s_N

非负项级数（ $a_n \ge 0$ ）特别干净：部分和递增，于是

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sup_N s_N \in [0, +\infty]

一定有意义（可能是 $+\infty$ ）。

说明

⭐ 测度的可数可加、积分的逐项性质，用的都是非负项级数这一行：非负就不必担心条件收敛与重排。

⚠ 收敛级数可以重排的只有绝对收敛的情形；条件收敛的级数重排后可能收敛到别的值（Riemann 重排定理）。

谁指向它（入边）

定义引用 2

数列极限 → 本页定义引用

级数收敛 = 部分和这个数列收敛。
界与确界 → 本页定义引用

非负项级数取的就是部分和的上确界。

类比 1

单调收敛定理类比

都是「取上确界」：把无穷一次性握在手里
两处的定义/证明核心是同一个动作：
- 非负项级数： $\sum_{n} a_n := \sup_N s_N$ —— 不去「求极限」，直接取部分和的上确界。
- 单调收敛定理： $\int f = \lim \int f_n$ ，而证明正是把两边都写成 $\sup$ 再交换（ $\sup$ 与 $\sup$ 交换，不需要任何条件）。
共同的招：只要是单调递增的，就不必讨论极限存在性 —— 上确界在 $[0, +\infty]$ 里永远存在，于是「求极限」这一步被绕过去了。这就是为什么 MCT 的证明条件最少、最好用。
反面：一旦不再单调（Fatou、控制收敛），就必须补「可积控制」这种额外条件 —— 因为那时取不到 $\sup$ 了。
💡 看到「极限不知道存不存在」时，先问：能不能改成单调的，然后取上确界？

参考

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 3

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继续

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