基本类

基本类（Fundamental Class）

定义
依赖深度 layer 14
分析学
集合论
集合族与 σ-代数

def.fundamental-class · 定义 · 集合族 · 测度论

又称基本类·fundamental class

陈述

设 $X$ 是集合， $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 。 $\mathfrak{A}$ 是 $X$ 上的一个基本类，当且仅当

对交封闭： $A, B \in \mathfrak{A} \implies A \cap B \in \mathfrak{A}$
差可以拆开： $A, B \in \mathfrak{A} \implies A \setminus B\text{ 是} \mathfrak{A}\text{ 中有限多个两两不交集合之并}$

说明

它比「环」弱一档：只要求对交封闭（不是并），而差只要求「能拆成不交并」。

基本类的作用是当砖块：把它的元素做成有限不交并，就得到一个环 —— 这正是下面那条性质 (5)。

典型例子：半开区间族 $\{ (a, b] : a < b \}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的基本类；由它做有限不交并得到的，正是构造 Lebesgue–Stieltjes 测度时要用的那个代数。

它指向谁（出边）

定义引用 2

集合族的基本性质用到本页定义引用

性质 (1)(5) 用的就是基本类的定义。
F 给出的预测度用到本页定义引用

半开区间族 $\{ (a, b] : a < b \}$ 正是一个基本类；取它的有限不交并就得到 $\mathfrak{A}$ 。

谁指向它（入边）

定义引用 2

区间 → 本页定义引用

半开区间族 $\{ (a, b] : a < b \}$ 就是构造 Lebesgue–Stieltjes 测度时用的那个基本类。
子集 → 本页定义引用

$\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{P}(X)$ ：基本类首先是一族子集。

参考

Halmos, Measure Theory, §4

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