单调类

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 环 → σ-环 的判据推出
  环 + 单调类 $\implies$ σ-环

  设 $\mathfrak{A}$ 是环，且是单调类。要证它对可数并封闭。

  ① 先换成不交并。 给定 $A_{1}, A_{2}$ … $\in \mathfrak{A}$，令

  $$B_n = A_n \setminus (A_1 \cup \cdots \cup A_{n-1})$$

  因为 $\mathfrak{A}$ 是环（对有限并、对差封闭），每个 $B_{n} \in \mathfrak{A}$；而且 $B_{n}$ 两两不交，并且 $\bigcup B_{n} = \bigcup A_{n}$。所以只需证 $\mathfrak{A}$ 对可数不交并封闭。

  ② 用单调性。 若 $B_{n}$ 两两不交，则部分并 $C_n = B_1 \cup \cdots \cup B_n$ 是递增列，且 $C_{n} \in \mathfrak{A}$（环对有限并封闭）。由 $\mathfrak{A}$ 是单调类，

  $$\bigcup_n C_n = \bigcup_n B_n = \bigcup_n A_n \in \mathfrak{A}$$

  故 $\mathfrak{A}$ 是可数并封闭的 $\sigma$环。反向（$\sigma$环 $\implies$ 单调类）明显，因为递增并、递减交都是可数并/交的特例。∎

  这条定理把「$\sigma$」这件事等价地翻译成了「对两种单调极限封闭」，单调类定理正是靠它工作的。

定义引用 4

• 环 → σ-环 的判据 用到 本页定义引用

  同上，还用了单调类的定义。

• 单调类定理 用到 本页定义引用

  并用到了单调类的定义。

• 乘积测度由截口给出 用到 本页定义引用

  截口公式的证明走的正是单调类定理：先验证矩形成立，再说明「满足它的集合」构成一个单调类。

• 生成的 σ-代数 用到 本页定义引用

  这条同时定义 $\mathcal{M}(\mathcal{E})$ 与 $\mathfrak{m}(\mathcal{E})$——后者就是由 $\mathcal{E}$ 生成的单调类。

谁指向它（入边）

定义引用 1

• 子集 → 本页定义引用

  单调类同样是 $\mathcal{P}(X)$ 的一族子集。