σ-环sigma-ring

σ-环（σ-Ring）

定义
依赖深度 layer 3
分析学
集合族与 σ-代数

def.sigma-ring · 定义 · σ-环 · 集合族

又称σ-环·sigma-ring

陈述

$\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 是 $X$ 上的一个 $\sigma$ 环，当且仅当把「有限」都换成「可数」之后仍封闭：

对可数并封闭： $A_1, A_2, \ldots \in \mathfrak{A} \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathfrak{A}$
对差封闭： $A, B \in \mathfrak{A} \implies A \setminus B \in \mathfrak{A}$

$\sigma$ 环 $=$ 环 + 可数并。它不要求含 $X$ —— 这正是它与 $\sigma$ 代数的唯一差别。

说明

不含 $X$ 的后果是实质的： $\sigma$ 环里集合的并可能仍是一个真子集，补运算也落不到里面。

典型例子： $X = \mathbb{R}$ 上「全体可数集」是 $\sigma$ 环，不是 $\sigma$ 代数 —— 它的元素之并（如 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ ）不在里面。

由差 + 可数并，可数交自动可用： $\bigcap_n A_n = A_1 \setminus \bigcup_{n \ge 2} (A_1 \setminus A_n)$ 。

与单调类的关系：环是 $\sigma$ 环 $\iff$ 它是单调类 $\iff$ 它对可数不交并封闭。

它指向谁（出边）

定义引用 1

σ-代数用到本页定义引用

$\sigma$ 代数 $= \sigma$ 环 $X \in \mathfrak{A}$ ，只多这一条。

谁指向它（入边）

定义引用 1

环与代数 → 本页定义引用

$\sigma$ 环就是把「环」里的有限并升级成可数并，其余（对差封闭）照旧。

参考

Halmos, Measure Theory, §4

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