环 → σ-环的判据

定理：环是 σ-环 $\iff$ 它是单调类 $\iff$ 它对可数不交并封闭

定理
依赖深度 layer 5
分析学
集合族与 σ-代数

thm.ring-monotone-sigma · 定理 · 环 · 单调类 · σ-环

又称环到σ环·从环到σ代数

陈述

设 $\mathfrak{A}$ 是一个环。则下列三条等价：

\mathfrak{A}\text{ 是} \sigma-\text{环} \iff \mathfrak{A}\text{ 是单调类} \iff \mathfrak{A}\text{ 对可列不交并封闭}

说明

注意前提「 $\mathfrak{A}$ 是环」不可省 —— 单调类一般不封闭于有限并，所以单调类本身推不出 $\sigma$ 环。

这条定理是单调类定理的技术核心：正是因为它，才能把「对 $\sigma$ 代数成立」化归为「先验证一个环，再看单调极限」。

English draft

Translation of the statement above · machine-drafted, pending author review · the Chinese text is authoritative.

Abstract

For a ring $\mathfrak{A}$ of sets, the following are equivalent: $\mathfrak{A}$ is a $\sigma$ -ring, $\mathfrak{A}$ is a monotone class, and $\mathfrak{A}$ is closed under countable disjoint unions. The hypothesis that $\mathfrak{A}$ is a ring cannot be dropped: a monotone class need not be closed under finite unions. This equivalence is the technical core of the monotone class theorem, since it reduces "true for the $\sigma$ -algebra" to "check a ring, then take monotone limits".

谁指向它（入边）

推出 1

环与代数、单调类 ⟹ 本页推出

环 + 单调类 $\implies$ σ-环

设 $\mathfrak{A}$ 是环，且是单调类。要证它对可数并封闭。
① 先换成不交并。 给定 $A_{1}, A_{2}$ … $\in \mathfrak{A}$ ，令
$B_n = A_n \setminus (A_1 \cup \cdots \cup A_{n-1})$
因为 $\mathfrak{A}$ 是环（对有限并、对差封闭），每个 $B_{n} \in \mathfrak{A}$ ；而且 $B_{n}$ 两两不交，并且 $\bigcup B_{n} = \bigcup A_{n}$ 。所以只需证 $\mathfrak{A}$ 对可数不交并封闭。
② 用单调性。 若 $B_{n}$ 两两不交，则部分并 $C_n = B_1 \cup \cdots \cup B_n$ 是递增列，且 $C_{n} \in \mathfrak{A}$ （环对有限并封闭）。由 $\mathfrak{A}$ 是单调类，
$\bigcup_n C_n = \bigcup_n B_n = \bigcup_n A_n \in \mathfrak{A}$
故 $\mathfrak{A}$ 是可数并封闭的 $\sigma$ 环。反向（ $\sigma$ 环 $\implies$ 单调类）明显，因为递增并、递减交都是可数并/交的特例。∎

这条定理把「 $\sigma$ 」这件事等价地翻译成了「对两种单调极限封闭」，单调类定理正是靠它工作的。

定义引用 3

环与代数 → 本页定义引用

定理的前提与结论都用了「环 $/ \sigma$ 环」的定义。
单调类 → 本页定义引用

同上，还用了单调类的定义。
σ-代数 → 本页定义引用

这条判据的结论是「 $\mathfrak{A}$ 是 $\sigma$ 环」；若 $\mathfrak{A}$ 还含 $X$ ，就一并是 $\sigma$ 代数。

参考

Halmos, Measure Theory, §6

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