生成的 σ-代数generated sigma-algebra

由 $\mathcal{E}$ 生成的 σ-代数 / 单调类： $\mathcal{M}(\mathcal{E})$ 与 $\mathfrak{m}(\mathcal{E})$

def.generated-sigma · 定义 · 生成 · σ-代数 · 单调类

又称生成·生成的σ代数·generated sigma-algebra

陈述

设 $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 。定义

\mathcal{M}(\mathcal{E}) := \bigcap \{ \mathfrak{A} : \mathfrak{A}\text{ 是包含} \mathcal{E}\text{ 的} \sigma-\text{代数} \}

\mathfrak{m}(\mathcal{E}) := \bigcap \{ \mathfrak{A} : \mathfrak{A}\text{ 是包含} \mathcal{E}\text{ 的单调类} \}

$\mathcal{M}(\mathcal{E})$ 称为由 $\mathcal{E}$ 生成的 $\sigma$ 代数， $\mathfrak{m}(\mathcal{E})$ 称为由 $\mathcal{E}$ 生成的单调类。

为什么这样定义是合法的：这个交非空（ $\mathcal{P}(X)$ 总是一个含 $\mathcal{E}$ 的 $\sigma$ 代数），而且任意多个 $\sigma$ 代数之交仍是 $\sigma$ 代数（单调类也一样），所以交出来的是最小的那一个。

「生成」是整段里最常用的手法：你给我一族好用的集合（基本类、开集、柱集），我把它补成最小的 $\sigma$ 代数，再在上面做测度。Borel、积 $\sigma$ 代数都是这么来的。

单调类定理用到本页定义引用

单调类定理的陈述里出现 $\mathcal{M}(\mathcal{E})$ 与 $\mathfrak{m}(\mathcal{E})$ ，正是上一条定义。
Borel σ-代数用到本页定义引用

$Borel \sigma$ 代数就是把「由开集生成」用了一遍。
积 σ-代数用到本页定义引用

积 $\sigma$ 代数也是「生成」出来的。
积 σ-代数的生成基用到本页定义引用

整条命题就是在操作「生成」。
单调类定理用到本页定义引用

定理的陈述里用到 $\mathfrak{m}(\mathcal{E})$ 与 $\mathcal{M}(\mathcal{E})$ 两个生成记号。

σ-代数 → 本页定义引用

「生成的 $\sigma$ 代数」＝一切包含 $\mathcal{E}$ 的 $\sigma$ 代数之交。
幂集 𝒫(X) → 本页定义引用

「 $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 」「一切包含 $\mathcal{E}$ 的 $\sigma$ -代数之交」都要在幂集里取。
单调类 → 本页定义引用

这条同时定义 $\mathcal{M}(\mathcal{E})$ 与 $\mathfrak{m}(\mathcal{E})$ ——后者就是由 $\mathcal{E}$ 生成的单调类。