L^q 落在 L^p + L^r 里

命题： $L^q \subseteq L^p + L^r$ （ $0 < p < q < r \le \infty$ ）

prop.lq-in-lp-plus-lr · 命题 · 插值 · 分解

又称Lq 落在 Lp 加 Lr

陈述

设 $0 < p < q < r \le \infty$ 。则

L^q \subseteq L^p + L^r

（右边理解为 $\{ g + h : g \in L^p,\ h \in L^r \}$ 。）

证明：取 $f \in L^q$ ，按「大」与「小」把它切开 ——

E := \{\, x : |f(x)| > 1 \,\}, \qquad g := f \chi_E, \qquad h := f \chi_{E^c}

则

|g|^p = |f|^p \chi_E \le |f|^q \chi_E, \qquad |h|^r = |f|^r \chi_{E^c} \le |f|^q \chi_{E^c}

（第二式用到 $|f| \le 1$ 在 $E^c$ 上成立。）于是 $g \in L^p$ 、 $h \in L^r$ 。 $r = \infty$ 时 $\|h\|_\infty \le 1$ ，显然。∎

⭐ 这条说的是：中间的 $L^q$ 可以被两端的 $L^p$ 与 $L^r$ 分担 —— 「大的部分」交给小的指数管，「小的部分」交给大的指数管。