(L^p)* ≅ L^qdual space

谁指向它（入边）

推出 1

• 有界 ⟹ g ∈ L^q、Lebesgue–Radon–Nikodym 定理、‖g‖_q = ‖φ_g‖ ⟹ 本页推出
  把泛函变成测度 $\implies$ $(L^p)^* \cong L^q$

  设 $1 < p < \infty$、$\Phi \in (L^p)^*$。

  Step 1：先设 $\mu$ 有限。 此时所有简单函数都在 $L^p$ 里。定义

  $$\nu(E) := \Phi(\chi_E) \qquad (E \in \mathcal{M})$$

  ① $\nu$ 是复测度。 设 $E = \bigsqcup_j E_j$，则 $\chi_E = \sum_{j} \chi_{E_j}$。而

  $$\left\| \chi_E - \sum_{j \le n} \chi_{E_j} \right\|_p = \left\| \sum_{j > n} \chi_{E_j} \right\|_p = \mu\left( \bigsqcup_{j>n} E_j \right)^{1/p} \to 0$$

  由 $\Phi$ 的连续性，$\nu(E) = \sum_j \nu(E_j)$ —— 正是复测度的定义。

  ② $\nu \ll \mu$。 若 $\mu(E) = 0$，则 $\chi_E = 0$ 于 $L^p$，故 $\nu(E) = 0$。

  ③ 用 Radon–Nikodym。 存在 $g \in L^1(\mu)$ 使 $\nu(E) = \int_E g \, d\mu$，即

  $$\Phi(\chi_E) = \int \chi_E g \, d\mu$$

  对一切简单函数 $f$ 就有 $\Phi(f) = \int fg \, d\mu$（线性）。

  ④ 把 $g$ 提升到 $L^q$。 由 $\left| \int fg \right| = |\Phi(f)| \le \|\Phi\| \, \|f\|_p$，有界泛函那条命题给出 $g \in L^q$ 且 $\|g\|_q \le \|\Phi\|$。再由稠密性（简单函数在 $L^p$ 稠密、$\Phi$ 连续）得 $\Phi(f) = \int fg$ 对一切 $f \in L^p$ 成立。

  Step 2：$\mu$ $\sigma$有限。 取 $\{E_n\} \uparrow$、$0 < \mu(E_n) < \infty$、$X = \bigcup_n E_n$，并把 $L^p(E_n)$ 等同于「在 $E_n$ 外为零的 $L^p(X)$ 函数」。对每个 $n$ 用 Step 1 得 $g_n \in L^q(E_n)$，且

  $$\|g_n\|_q \le \left\| \Phi|_{L^p(E_n)} \right\| \le \|\Phi\|$$

  唯一性（a.e.）给出 $g_n = g_m$ a.e. 于 $E_n$（$n < m$），所以它们拼成一个 a.e. 良定义的 $g$。由 MCT，$\|g\|_q = \lim_n \|g_n\|_q \le \|\Phi\|$，故 $g \in L^q$；而对 $f \in L^p$，由 DCT $f\chi_{E_n} \to f$ 于 $L^p$，于是 $\Phi(f) = \lim_n \Phi(f\chi_{E_n}) = \lim_n \int_{E_n} fg = \int fg$。

  Step 3：$\mu$ 任意（此时 $p > 1$，故 $q < \infty$）。 对每个 $\sigma$有限集 $E \subseteq X$，Step 2 给出 a.e. 唯一的 $g_E \in L^q(E)$ 使 $\Phi(f) = \int f g_E$ 对一切 $f \in L^p(E)$ 成立，且 $\|g_E\|_q \le \|\Phi\|$。若 $F \supseteq E$ 也 $\sigma$有限，则 $g_F = g_E$ a.e. 于 $E$，因而 $\|g_F\|_q \ge \|g_E\|_q$。令

  $$M := \sup \{\, \|g_E\|_q : E \text{ 是 }\sigma\text{-有限集} \,\} \le \|\Phi\|$$

  取 $\{E_n\}$ 使 $\|g_{E_n}\|_q \to M$，令 $F = \bigcup_n E_n$（仍 $\sigma$有限）。则 $\|g_F\|_q \ge \|g_{E_n}\|_q$ 对一切 $n$ 成立，故 $\|g_F\|_q = M$。

  $g_F$ 已经是我们要的那个 $g$：设 $A \supseteq F$ $\sigma$有限，则

  $$\int |g_F|^q + \int |g_{A \setminus F}|^q = \int |g_A|^q \le M^q = \int |g_F|^q$$

  故 $g_{A \setminus F} = 0$，即 $g_A = g_F$ a.e.。而对 $f \in L^p$，集合 $A := F \cup \{f \ne 0\}$ 是 $\sigma$有限的，于是 $\Phi(f) = \int f g_A = \int f g_F$。取 $g = g_F$ 即可。∎

  ⭐ Step 1 的核心思想：把 $L^p$ 上的泛函限制在「特征函数」上，就得到一个测度，再用 Radon–Nikodym 把测度变成函数。

定义引用 2

• 共轭指数 → 本页定义引用

  结论那句话里「$q$ 是共轭指数」。

• 对偶配对 φ_g → 本页定义引用

  定理说 $g \mapsto \varphi _g$ 是等距同构。