Young 不等式

Young 不等式（ $a^\lambda \cdot b^{1-\lambda} \le \lambda a + (1-\lambda)b$ ）

引理
依赖深度 layer 15
分析学
L^p 空间

lem.young-inequality · 引理 · Young · 凸性

又称Young 不等式·Young

陈述

设 $a \ge 0$ ， $b \ge 0$ ， $0 < \lambda < 1$ 。则

a^{\lambda} b^{1-\lambda} \le \lambda a + (1-\lambda) b

说明

这就是 $\log$ 的凹性（等价于指数函数的凸性）：

\log\!\left( \lambda a + (1-\lambda) b \right) \ge \lambda \log a + (1-\lambda) \log b

两边取指数即得。

引出标准特例：取 $\lambda = 1/p$ 、 $a = |f|^p / \|f\|_p^p$ 、 $b = |g|^q / \|g\|_q^q$ ，就是 Hölder 不等式 的证明里那一步。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Hölder 不等式推出

Young 不等式 $\implies$ Hölder 不等式

① 先设 $\|f\|_p = \|g\|_q = 1$ 。 在 Young 不等式里取
$a = |f(x)|^p, \qquad b = |g(x)|^q, \qquad \lambda = \frac{1}{p}, \qquad 1 - \lambda = \frac{1}{q}$
得逐点不等式
$|f(x)g(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g(x)|^q}{q}$
② 积分。
$\int |fg| \le \frac{1}{p} \int |f|^p + \frac{1}{q} \int |g|^q = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$
③ 一般情形。 若 $\|f\|_p$ 、 $\|g\|_q$ 都非零，把 $f / \|f\|_p$ 与 $g / \|g\|_q$ 代进去再用齐次性。若有一个为零，则 $fg = 0$ a.e.，两边都是 0。∎
④ 取等条件。 回看 ②：等号成立要求 ① 里每一步都取等，即 $a = b$ a.e.（Young 不等式的取等条件），也就是
$|f|^p = |g|^q \quad \text{a.e.}$
在归一化之后；还原到一般情形就是「 $|f|^p$ 与 $|g|^q$ 成比例 a.e.」。

谁指向它（入边）

定义引用 1

共轭指数 → 本页定义引用

把 $\lambda$ 取成 $1/p$ ，则 $\lambda$ 与 $1 - \lambda$ 正是一对共轭指数——Young 不等式是 Hölder 的算术底座。

参考

Folland, Real Analysis, §6.1

常见问法 1 条

Hölder 不等式怎么用也看 Hölder 不等式、共轭指数

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