‖g‖_q = ‖φ_g‖isometry

设 $1 < p < \infty$、$\Phi \in (L^p)^*$。

Step 1：先设 $\mu$ 有限。 此时所有简单函数都在 $L^p$ 里。定义

① $\nu$ 是复测度。 设 $E = \bigsqcup_j E_j$，则 $\chi_E = \sum_{j} \chi_{E_j}$。而

由 $\Phi$ 的连续性，$\nu(E) = \sum_j \nu(E_j)$ —— 正是复测度的定义。

② $\nu \ll \mu$。 若 $\mu(E) = 0$，则 $\chi_E = 0$ 于 $L^p$，故 $\nu(E) = 0$。

③ 用 Radon–Nikodym。 存在 $g \in L^1(\mu)$ 使 $\nu(E) = \int_E g \, d\mu$，即

对一切简单函数 $f$ 就有 $\Phi(f) = \int fg \, d\mu$（线性）。

④ 把 $g$ 提升到 $L^q$。 由 $\left| \int fg \right| = |\Phi(f)| \le \|\Phi\| \, \|f\|_p$，有界泛函那条命题给出 $g \in L^q$ 且 $\|g\|_q \le \|\Phi\|$。再由稠密性（简单函数在 $L^p$ 稠密、$\Phi$ 连续）得 $\Phi(f) = \int fg$ 对一切 $f \in L^p$ 成立。

Step 2：$\mu$ $\sigma$有限。 取 $\{E_n\} \uparrow$、$0 < \mu(E_n) < \infty$、$X = \bigcup_n E_n$，并把 $L^p(E_n)$ 等同于「在 $E_n$ 外为零的 $L^p(X)$ 函数」。对每个 $n$ 用 Step 1 得 $g_n \in L^q(E_n)$，且

唯一性（a.e.）给出 $g_n = g_m$ a.e. 于 $E_n$（$n < m$），所以它们拼成一个 a.e. 良定义的 $g$。由 MCT，$\|g\|_q = \lim_n \|g_n\|_q \le \|\Phi\|$，故 $g \in L^q$；而对 $f \in L^p$，由 DCT $f\chi_{E_n} \to f$ 于 $L^p$，于是 $\Phi(f) = \lim_n \Phi(f\chi_{E_n}) = \lim_n \int_{E_n} fg = \int fg$。

Step 3：$\mu$ 任意（此时 $p > 1$，故 $q < \infty$）。 对每个 $\sigma$有限集 $E \subseteq X$，Step 2 给出 a.e. 唯一的 $g_E \in L^q(E)$ 使 $\Phi(f) = \int f g_E$ 对一切 $f \in L^p(E)$ 成立，且 $\|g_E\|_q \le \|\Phi\|$。若 $F \supseteq E$ 也 $\sigma$有限，则 $g_F = g_E$ a.e. 于 $E$，因而 $\|g_F\|_q \ge \|g_E\|_q$。令

取 $\{E_n\}$ 使 $\|g_{E_n}\|_q \to M$，令 $F = \bigcup_n E_n$（仍 $\sigma$有限）。则 $\|g_F\|_q \ge \|g_{E_n}\|_q$ 对一切 $n$ 成立，故 $\|g_F\|_q = M$。

$g_F$ 已经是我们要的那个 $g$：设 $A \supseteq F$ $\sigma$有限，则

故 $g_{A \setminus F} = 0$，即 $g_A = g_F$ a.e.。而对 $f \in L^p$，集合 $A := F \cup \{f \ne 0\}$ 是 $\sigma$有限的，于是 $\Phi(f) = \int f g_A = \int f g_F$。取 $g = g_F$ 即可。∎