对偶配对 φ_gdual pairing

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 有界 ⟹ g ∈ L^q推出
  Hölder + 有界性 $\implies$ $g \in L^q$

  Step 1：有限支可测的 $f$ 也满足 $|\int fg| \le M_g(g)$。

  设 $f$ 有限支可测、$\|f\|_p = 1$。取有限支简单函数列 $\{f_n\} \to f$ a.e.，且 $|f_n| \le |f|$、$|f_n| \le \|f\|_\infty \chi_E$（$E$ 是 $f$ 的支集，有限测度）。由 DCT，

  $$\left| \int fg \right| = \lim_n \left| \int f_n g \right| \le M_g(g)$$

  Step 2：$q < \infty$。 不妨设 $g \ne 0$，且设 $\{g \ne 0\}$ $\sigma$有限（$\mu$ 半有限时这一点自动成立）。

  先说明必须有 $\mu(\{|g| > \varepsilon\}) < \infty$（对一切 $\varepsilon > 0$）：否则设 $E_\varepsilon = \{|g| > \varepsilon\}$ 测度无穷，对任意 $C$ 取 $B \subseteq E_\varepsilon$ 使 $C < \mu(B) < \infty$，令

  $$f = \mu(B)^{-1/q} \chi_B \operatorname{sgn} g, \qquad \|f\|_p = 1$$

  则 $\left| \int fg \right| = \mu(B)^{-1/q} \int_B |g| > \varepsilon \, \mu(B)^{1/p} > \varepsilon C^{1/p}$，令 $C \to \infty$ 就与 $M_g(g) < \infty$ 矛盾。

  于是可取 $\{E_n\} \uparrow \{g \ne 0\}$，$\mu(E_n) < \infty$；再取简单 $\varphi_n \to g$、$|\varphi_n| \le |g|$，令 $g_n := \varphi_n \chi_{E_n}$，则 $g_n \to g$、$|g_n| \le |g|$、且 $g_n$ 在 $E_n^c$ 外为零。令

  $$f_n := \frac{|g_n|^{q-1} \operatorname{sgn} g_n}{\|g_n\|_q^{\,q-1}}, \qquad \|f_n\|_p = 1$$

  则 $f_n$ 有限支，由 Step 1 可用。于是

  $$\|g\|_q \le \lim_n \|g_n\|_q = \lim_n \int f_n g_n \le \lim_n \int |f_n g| = \lim_n \int f_n g \le M_g(g)$$

  （第一个不等号由 Fatou，第二个是 $f_n g_n = |g_n|^q$，中间那个等号用的仍是符号 $\operatorname{sgn}$ 的消失。）故 $\|g\|_q \le M_g(g) < \infty$，$g \in L^q$；反向不等式 $M_g(g) \le \|g\|_q$ 由 Hölder。

  Step 3：$q = \infty$。 对 $\varepsilon > 0$ 令 $A = \{|g(x)| \ge M_\infty(g) + \varepsilon\}$。若 $\mu(A) > 0$，由半有限性或 $A \subseteq \{g \ne 0\}$ 的 $\sigma$有限性取 $B \subseteq A$、$0 < \mu(B) < \infty$，令 $f = \mu(B)^{-1} \chi_B \operatorname{sgn} g$，则 $\|f\|_1 = 1$ 而 $\int fg \ge M_\infty(g) + \varepsilon$ —— 矛盾。故 $\mu(A) = 0$，即 $\|g\|_\infty \le M_\infty(g)$；反方向由 Hölder。∎

定义引用 3

• ‖g‖_q = ‖φ_g‖ 用到 本页定义引用

  命题算的就是 $\varphi _g$ 的算子范数。

• 有界 ⟹ g ∈ L^q 用到 本页定义引用

  这条命题说的正是「配对 $\int fg$ 有界」把 $g$ 逼进 L^q。

• (L^p)* ≅ L^q 用到 本页定义引用

  定理说 $g \mapsto \varphi _g$ 是等距同构。

谁指向它（入边）

定义引用 4

• L^p 范数 → 本页定义引用

  $\varphi_g$ 定义在 $L^p$ 上，有界性要靠范数 $\|f\|_p$ 来说。

• 共轭指数 → 本页定义引用

  「设 $p, q$ 共轭，$g \in L^q$」——共轭指数是这条定义的前提。

• 复函数的积分 → 本页定义引用

  $\varphi_g(f) = \int f g \, d\mu$ 本身是一个积分。

• 本性上界与 L^∞ → 本页定义引用

  $g \in L^\infty$ 那一头（$p = 1$）要用本性上界。