有限测度时方向反过来

命题（只有爆破的场合）： $\mu(X) < \infty$ 时 $L^p(\mu) \supseteq L^q(\mu)$

prop.lp-inclusion-finite · 命题 · 有限测度 · 包含

又称有限测度时的包含方向

陈述

设 $\mu(X) < \infty$ ， $0 < p < q \le \infty$ 。则

L^q(\mu) \subseteq L^p(\mu), \qquad \|f\|_p \le \|f\|_q \, \mu(X)^{\,(1/p) - (1/q)}

证明： $q = \infty$ 时，

\|f\|_p^p = \int |f|^p \le \|f\|_\infty^p \int 1 = \|f\|_\infty^p \, \mu(X)

一般 $q < \infty$ 时，把 $|f|^p$ 看作 $|f|^p \cdot 1$ ，对它用 Hölder，指数取 $q/p$ 与 $q/(q-p)$ ：

\|f\|_p^p = \int |f|^p \cdot 1 \le \big\| |f|^p \big\|_{q/p} \, \|1\|_{q/(q-p)} = \|f\|_q^p \, \mu(X)^{(q-p)/q}

两边开 $p$ 次方即得。∎

⭐ 与 $\ell^p$ 的方向正好相反（那里是 $p$ 越大空间越小，这里是越小越大）。

记忆口诀：

测度有限 $\to$ 只有「爆破」要防 $\to$ 指数越小空间越大： $L^1 \supseteq L^2 \supseteq \cdots \supseteq L^\infty$ ；
计数测度 $\to$ 只有「衰减」要防 $\to$ 指数越大空间越小： $\ell^1 \subseteq \ell^2 \subseteq \cdots \subseteq \ell^\infty$ 。