# 有限测度时方向反过来　`prop.lp-inclusion-finite`
命题（只有爆破的场合）：$\mu(X) < \infty$ 时 $L^p(\mu) \supseteq L^q(\mu)$
layer 19 · 命题 · L^p 空间 · 分析学
[在星图里打开](../#n=prop.lp-inclusion-finite)　·　[节点索引](../index.md)

设 $\mu(X) < \infty$，$0 < p < q \le \infty$。则

$$L^q(\mu) \subseteq L^p(\mu), \qquad \|f\|_p \le \|f\|_q \, \mu(X)^{\,(1/p) - (1/q)}$$

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- [`def.lp-norm`](../nodes/def.lp-norm.md) L^p 范数：用到了定义 L^p 范数　[proofs/def-link.lp-norm-finite.md](../proofs/def-link.lp-norm-finite.md)

- …另有入边，续页见 [nodes/prop.lp-inclusion-finite.2.md](./prop.lp-inclusion-finite.2.md)

refs: Folland, Real Analysis, §6.1

> 说明见 `notes/prop.lp-inclusion-finite.md`

引用：`prop.lp-inclusion-finite`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)