L⁺

$L^{+}$ ：非负可测函数全体

def.lplus · 定义 · L⁺

又称L+·L⁺·非负可测函数·非负函数空间

陈述

固定测度空间 $(X, \mathcal{M}, \mu )$ 。记

L^+ := \{ f : X \to [0, +\infty] : f\text{ 可测} \}

即取值在扩充非负实数里的可测函数全体。

⚠ 取值允许是 $\infty$ ，这是刻意的：先把积分对 $[0, +\infty ]$ 值的函数定义好，收敛定理（sup / 极限）在整个 $L^{+}$ 里封闭，不必反复讨论「积分是不是有限」。

「可积」（积分有限）是之后单独加的条件，见 $L^{1}$ 的定义。

单调收敛定理用到本页定义引用

MCT 对整列都要求在 $L^{+}$ 里。
复函数的积分用到本页定义引用

复函数的积分就是把正负部丢回 $L^{+}$ 去算。
可积 / L¹ 用到本页定义引用

可积 $\iff \int |f| < \infty$ ，而 $|f| \in L^{+}$ 。
控制收敛定理用到本页定义引用

DCT 的证明是正负部各用一次 Fatou —— 又回到 $L^{+}$ 。
Fatou 的推论用到本页定义引用

$\{f_n\} \subseteq L^+$ 、 $f \in L^+$ ：整条推论都活在非负可测函数里。
积分有限的后果用到本页定义引用

前提是 $f \in L^+$ 且 $\int f < \infty$ 。
非负函数的积分用到本页定义引用

定义写成 $\int f := \sup \{ \int \varphi : 0 \le \varphi \le f \}$ ，其中 $f \in L^+$ 。
简单函数的积分用到本页定义引用

标准形式写的是「 $\varphi \in L^+$ 是简单函数」—— 定义域落在 $L^+$ 里。