何时两个函数积分处处相同

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ RN 导数的链式法则推出
  换元公式与链式法则

  设 $\nu \ll \mu \ll \lambda$。

  (a) 换元公式 $\int g d\nu = \int g \frac{d\nu}{d\mu} d\mu$。 分四步爬：

  $\cdot$ $g = \chi_E$：左边是 $\nu(E) = \int_E \frac{d\nu}{d\mu} d\mu$（这正是 RN 定理的内容），右边同； $\cdot g$ 是简单函数：由线性； $\cdot$ $g \in L^+$：取简单函数列 $g_n \uparrow g$，两边各用一次 MCT； $\cdot$ $g \in L^1(\nu)$：拆正负部。

  (b) 链式法则。 对任意可测 $E$，用 (a) 两次：

  $$\nu(E) = \int_E \frac{d\nu}{d\mu} d\mu = \int_E \frac{d\nu}{d\mu} \cdot \frac{d\mu}{d\lambda} d\lambda$$

  另一方面又有 $\nu(E) = \int_E \frac{d\nu}{d\lambda} d\lambda$（因为 $\nu \ll \lambda$）。两式对一切 $E$ 相等，由「用积分识别函数」，两个密度 $\lambda -\text{a.e.}$ 相等：

  $$\frac{d\nu}{d\lambda} = \frac{d\nu}{d\mu} \cdot \frac{d\mu}{d\lambda}\quad \lambda-\text{a.e.}$$

  ∎

谁指向它（入边）

推出 1

• 积分为零 ⟺ 几乎处处为零 ⟹ 本页推出
  积分为零 $\implies$ 用积分识别函数

  记 $h = f - g \in L^1$。三条之间的等价链条是

  $$(i) \int_E f = \int_E g\quad \forall E \in \mathcal{M}\quad \iff\quad \int_E h = 0\quad \forall E$$

  $(i) \implies (ii)$：分别取 $E = \{h \ge 0\}$ 与 $E = \{h < 0\}$。由 $\int_E h = 0$ 且 $h$ 在 $E$ 上不变号，得 $\{h > 0\}$ 与 $\{h < 0\}$ 都是零集（否则积分为正/负），故 $\mu(\{h \ne 0\}) = 0$，于是 $\int|h| = 0$。

  $(ii) \implies (iii)$：$\int|h| = 0$ 配合「积分为零 $\iff$ 几乎处处为零」，直接得到 $h = 0 \text{a.e.}$。

  $(iii) \implies (i)$：$h = 0 \text{a.e.}$ 时，对任意 $E$，$\int_E h$ 的简单函数逼近里可以整体避开零集，故积分为 0。∎

定义引用 1

• 可积 / L¹ → 本页定义引用

  前提 $f, g \in L^1(\mu)$ 说的是两个函数都可积。