积分绝对值不等式

说明

证明。 若 $\int f\,\mathrm{d}\mu = 0$ 则两边都是 $0$。否则——

• 实值：取 $\alpha := \operatorname{sgn}\bigl(\int f\,\mathrm{d}\mu\bigr) \in \{\pm1\}$，则 $\alpha\int f = \bigl|\int f\bigr|$，于是

• 复值：取 $\alpha := e^{-i\theta}$，$\theta := \arg\int f\,\mathrm{d}\mu$。则 $\alpha\int f = \bigl|\int f\bigr|$ 是实数，而

中间那步用的是「$u \le v$ 逐点 $\implies \int u \le \int v$」（实值情形）以及 $\operatorname{Re}(z) \le |z|$ ✓。∎

复情形：取 $\alpha = e^{-i\theta}$ 使 $\alpha\int f$ 是实数且等于 $|\int f|$，则 $|\int f| = \int \alpha f = \int \operatorname{Re}(\alpha f) \le \int|\alpha f| = \int|f|$。