局部可积locally integrable

局部可积函数 $L^{1}_{\text{loc}}$

定义
依赖深度 layer 20
分析学
微分定理

def.locally-integrable · 定义 · 局部可积

又称局部可积·locally integrable

陈述

可测函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}$ 是局部可积的，当且仅当

\int_K |f(x)| dx < \infty\quad \text{ 对每个有界可测集} K \subseteq \mathbb{R}^n

局部可积函数全体记作 $L^1_{loc}$ （或 $L^1_{loc}(\mathbb{R}^n)$ ）。

说明

直觉： $f$ 可能「在无穷远处爆掉」，但在每个有限范围里都还好。

例：常函数 1 属于 $L^{1}_{l}oc$ 但不属于 $L^{1}(\mathbb{R}^{n})$ ； $1/|x|$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上属于 $L^{1}_{l}oc$ （ $n \ge 2$ 时不属于 $L^{1}$ ）。

⚠ 微分理论里必须是 $L^{1}_{l}oc$ 而不是 $L^{1}$ ：因为讨论的是逐点行为，而局部信息就够。

它指向谁（出边）

定义引用 5

平均算子 Aᵣ 用到本页定义引用

平均算子只在 $L^{1}_{l}oc$ 上定义。
极大函数用到本页定义引用

极大函数的定义域是 $L^{1}_{l}oc$ 。
RN 导数的点态公式用到本页定义引用

证明中间要推出 $f \in L^{1}_{l}oc$ 。
平均算子联合连续用到本页定义引用

前提 $f \in L^1_{loc}$ ——平均算子只对局部可积函数定义。
Lebesgue 集用到本页定义引用

「设 $f \in L^1_{loc}$ 」——Lebesgue 集只对局部可积函数谈。

谁指向它（入边）

定义引用 2

可测函数 → 本页定义引用

局部可积的对象是可测函数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}$ 。
可积 / L¹ → 本页定义引用

判据 $\int_K |f| < \infty$ 与 $L^1$ 的可积判据同源，只是把整个空间换成有界可测集 $K$ 。

参考

Folland, Real Analysis, §3.4

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