极大定理maximal theorem

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ Lebesgue 微分定理推出
  极大定理 + 连续函数逼近 $\implies$ Lebesgue 微分定理

  ① 先局部化。 由 $L^{1}_{l}oc$ 的定义与测度的可数可加性，只需对每个 $N \in \mathbb{N}$ 证明在球 $\{|x| \le N\}$ 上几乎处处成立；把 $f$ 换成 $f\cdot\chi_{B(N+1, 0)}$ 后即可设 $f \in L^1$。

  ② 用连续函数逼近。 给定 $\varepsilon > 0$，由「$L^{1}$ 里的逼近」，取连续函数 $g$ 使

  $$\int |g(y) - f(y)| dy < \varepsilon$$

  ③ 连续情形是白送的。 若 $g$ 连续，则对每一个 $x$ 都有 $A_r g(x) \to g(x)$（$r \to 0$）—— 因为 $g$ 在 $x$ 附近近似为常数。

  ④ 把差值压住。 对任意 $x$，

  $$\sup_{r>0} |A_r f(x) - f(x)| = \sup_r |A_r(f - g)(x) + (A_r g - g)(x) + (g - f)(x)| \le H(f - g)(x) + |f - g|(x)$$

  （第一项用 $|A_r(f-g)| \le A_r|f-g| \le H(f-g)$，第二项由 ③ 取 $r \to 0$）。

  ⑤ 估计坏集。 令

  $$E_\alpha = \{x : \sup_{r>0} |A_r f(x) - f(x)| > \alpha\}$$

  由 ④，$E_\alpha \subseteq F_{\alpha/2} \cup \{x : H(f-g)(x) > \alpha/2\}$，其中 $F_{\alpha/2} = \{|f - g| > \alpha/2\}$。于是

  $$m(E_\alpha) \le 2\varepsilon / \alpha + 2C\varepsilon / \alpha$$

  （第一项用 Markov 不等式，第二项用极大定理。）

  ⑥ 令 $\varepsilon \to 0$。 右边对任意 $\varepsilon > 0$ 成立，故 $m(E_\alpha) = 0$ 对一切 $\alpha > 0$ 成立。于是

  $$\lim_{r\to0} A_r f(x) = f(x)\quad \text{ 对一切} x \notin \bigcup_{m\in\mathbb{N}} E_{1/m}$$

  而右边是可数个零集之并，仍是零集。∎

  ⭐ 这是分析里最漂亮的标准套路之一：用「连续函数是稠密的」把问题搬到好情形，再用极大不等式把误差控制住。两边一夹，坏集测度为零。

谁指向它（入边）

推出 1

• 覆盖引理、极大函数 ⟹ 本页推出
  覆盖引理 $\implies$ 极大定理

  ① 把坏集换成球族。 令 $E_\alpha = \{x : Hf(x) > \alpha\}$。对每个 $x \in E_\alpha$，由 Hf 的定义（上确界）存在 $r_x > 0$ 使

  $$A_{r_x}|f|(x) > \alpha\quad \iff\quad \int_{B(r_x, x)} |f(y)| dy > \alpha\cdot m(B(r_x, x))$$

  于是 $\{B(r_x, x)\}_{x \in E_\alpha}$ 是 $E_\alpha$ 的一个开球覆盖，且每个球都满足上面那个「超额」不等式。

  ② 用覆盖引理挑不交子族。 任取 $c < m(E_\alpha)$（先设 $m(E_\alpha ) < \infty$）。由覆盖引理，存在 $x_1, \ldots , x_k \in E_\alpha$ 使 $B_j = B(r_{x_j}, x_j)$ 两两不交，且

  $$\sum_j m(B_j) > 3^{-n} c$$

  ③ 把测度换成积分。 由 ① 里每个球的超额不等式，

  $$c < 3^n \sum_j m(B_j) < (3^n/\alpha)\cdot\sum_j \int_{B_j} |f| dy \le (3^n/\alpha)\cdot\int_{\mathbb{R}^n} |f| dy$$

  （最后一步用的是：$B_j$ 两两不交，所以把积分加起来不超过整体积分。）

  ④ 令 $c \to m(E_\alpha )$。 得到

  $$m(E_\alpha) \le (3^n/\alpha)\cdot\int |f| dy$$

  即 $C = 3^n$。∎

  ⭐ 整段只有一个「魔法」：覆盖引理保证挑出来的不交球虽然装不满 $E_\alpha$，但总测度至少是 $3^{-n}$ 倍 —— 恰好够用。

定义引用 1

• 极大函数 → 本页定义引用

  极大定理估的就是 Hf 的分布函数。