# RN 导数与 Lebesgue 分解　`def.rn-derivative`
Radon–Nikodym 导数 $d\nu/d\mu$ 与 Lebesgue 分解
layer 17 · 定义 · 符号测度与分解 · 分析学
[在星图里打开](../#n=def.rn-derivative)　·　[节点索引](../index.md)

设 $\nu \ll  \mu$（都是 $\sigma$有限的）。取定理里的 $f$，称

$$f = \frac{d\nu}{d\mu}$$

为 $\nu$ 关于 $\mu$ 的 **Radon–Nikodym 导数**（注意它定义在「$\mu$本质相同的函数类」上，不是单个函数）。

一般的分解 $\nu = \lambda + \rho$（$\lambda \perp  \mu$，$\rho \ll  \mu$）称为 $\nu$ 关于 $\mu$ 的 **Lebesgue 分解**。

## 它能推出什么 / 谁在用它
- 被 [`prop.L1-signed`](../nodes/prop.L1-signed.md) L¹(ν) 与全变差 用
- 被 [`thm.rn-pointwise`](../nodes/thm.rn-pointwise.md) RN 导数的点态公式 用

- …另有出边，续页见 [nodes/def.rn-derivative.3.md](./def.rn-derivative.3.md)

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/def.rn-derivative.2.md](./def.rn-derivative.2.md)

refs: Folland, Real Analysis, §3.2

> 说明见 `notes/def.rn-derivative.md`

引用：`def.rn-derivative`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)