拓扑空间与开集

闭集定义成开集的补，开集的性质靠 De Morgan 律翻译过去。

基是开集族里挑了「表现良好」的一部分：每个开集都由它并出来。

连续映射说的是「$\mathcal{T}_Y$ 里每个开集的原像落在 $\mathcal{T}_X$ 里」。

$d$ 诱导出的那族开集（开球之并）就是这条定义里的拓扑：三条公理逐条可验（任意并由球的定义封闭，有限交由三角不等式保证）。所以每个距离空间都是拓扑空间，反之不成立。

Borel $\sigma$-代数就是「设 $X$ 是拓扑空间，取全体开集生成的 $\sigma$-代数」。

$\varepsilon$-$\delta$ 那套是拓扑版连续在实数（或距离空间）上的展开形式：开球就是 $\varepsilon$ 邻域。

子空间拓扑是拿大空间的拓扑里的开集与 $Y$ 求交得到的。

商拓扑问的是商集的哪些子集拉回去是开的，判断依据仍是大空间的拓扑。

「两个点可被开集分开」——开集是拓扑的一部分。

「不能写成两个不交非空开集之并」是拿拓扑说出来的。

紧生成说的是拓扑空间上的一条性质。

积拓扑是拓扑空间族上的构造。

紧开拓扑是函数集合上的一种拓扑。

「运算连续」要在拓扑里说。

拓扑是幂集的一族子集：$\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$。

「开集是 $X$ 的子集」「$\mathcal{T}$ 作为集合族」都是子集关系。