Urysohn 引理

说明

⭐ 它的意义是：正规性 = 「连续函数足够多」。 光是「闭集能被开集分开」还是纯拓扑的说法；Urysohn 引理把它换成了一个函数 —— 从此可以拿实数来量拓扑，分析才接得上。

证明的走法（「二分法」造 $f$）。 先在两个闭集之间造一列开集：对每个二进有理数 $q \in [0,1]$ 给一个开集 $U_{q}$，使

这一步只用正规性（每一步都是「不交闭集被开集分开」）。然后令

（$x \notin$ 任何 $U_{q}$ 时取 $1$）。由那列开集的单调夹逼可以验证 $f$ 连续，且 $f|_{A} = 0$、$f|_{B} = 1$。反方向是直接的：$f^{-1}[0, 1/2)$ 与 $f^{-1}(1/2, 1]$ 就是分开 $A, B$ 的开集。∎

用途：它是 Tietze 扩张定理（把闭子集上的连续实函数扩到整个空间）的前置，而 Tietze 又是「实 Banach 空间在紧 Hausdorff 空间上零调」那条的引擎 —— 那条链最终通到凝聚态上同调。